几何分布
在概率论和统计学中，几何分布（英语：Geometric distribution）指的是以下两种离散型概率分布中的一种：
- 在伯努利试验中，得到一次成功所需要的试验次数 \(X\) 。 \(X\) 的值域是 \(\{ 1, 2, 3, \cdots \}\)
- 在得到第一次成功之前所经历的失败次数 \(Y = X − 1\) 。\(Y\) 的值域是 \(\{ 0, 1, 2, 3, \cdots \}\)
实际使用中指的是哪一个取决于惯例和使用方便。
这两种分布不应该混淆。
前一种形式（ \(X\) 的分布）经常被称作 shifted geometric distribution
但是，为了避免歧义，最好明确地说明取值范围。因此本文优先采用前者。
数学定义
如果每次试验的成功概率是 \(p\) ，那么 \(k\) 次试验中，第 \(k\) 次才得到成功的概率是 \[ \operatorname{Pr}(X=k)=(1-p)^{k-1} p,\quad k = 1,2,3,\cdots \]
而另一种形式，也就是第一次成功之前所失败的次数，可以写为 \[ \operatorname{Pr}(Y=k)=(1-p)^k p,\quad k = 0,1,2,3,\cdots \]
若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(p\) 的几何分布，则记 \(X \sim G(p)\) 。
不难发现两种情况产生的序列都是几何数列（等比数列），这便是几何分布的名字来源。
比如，假设不停地掷骰子，直到得到 \(1\) 。
投掷次数是随机分布的，取值范围是无穷集合 \(\{ 1, 2, 3, \cdots \}\)，并且是一个 \(p = \frac{1}{6}\) 的几何分布。
性质
几何分布满足以下性质
概率质量函数为 \[ f_X(x) = (1-p)^{x-1}p \]
期望值为 \[ \mathrm{E}(X) = \frac{1}{p} \]
方差为 \[ \mathrm{Var}(X) = \frac{1 - p}{p^2} \]
几何分布具有非记忆性的性质（Memoryless Property，又称遗失记忆性）
这表示如果一个随机变量呈几何分布，它的条件概率遵循： \[ \mathrm{Pr}(X>a + b \mid X>b)=\mathrm{Pr}(X>a) \quad( a,b \in \mathbb{N}) \]
参考文献：
