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二项_


二项分布

在概率论和统计学中,二项分布nn 个独立的 是/非试验 中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为 pp

这样的 单次成功/失败试验 又称为 伯努利试验 。实际上,当 n=1n=1 时,二项分布就是伯努利分布。


数学定义

一般来说,若随机变量 XX 服从参数为 nnpp 的二项分布,我们记作 XB(n,p)XB(n,p)nn 次试验中正好得到 kk 次成功的概率由概率质量函数给出:

f(k,n,p)=Pr(X=k)=(nk)pk(1p)nk(kN+)f(k,n,p)=Pr(X=k)=(nk)pk(1p)nk(kN+)

该公式可以用以下方法理解:

我们希望有 kk 次成功和 nknk 次失败。然而,kk 次成功可以在 nn 次试验的任何地方出现,而把 kk 次成功分布在 nn 次试验中共有 (nk)(nk) 个不同的方法。

可以发现 Pr(X=k)Pr(X=k) 就是 (a+b)n(a+b)n 的二项展开式中的第 kk(a=p, b=1p)(a=p, b=1p)


二项分布的性质

XX 是服从二项分布的随机变量(即 XB(n,p)XB(n,p) ),则

  • 期望为

    E[X]=ni=1μ=npE[X]=ni=1μ=np
  • 方差为

    Var[X]=ni=1σ2=np(1p)Var[X]=ni=1σ2=np(1p)
  • 如果 YB(n,p)YB(n,p)X,YX,Y 在同一概率空间,若 X,YX,Y 相互独立,则 X+YX+Y 服从二项分布

    X+YB(n+m,p)X+YB(n+m,p)

例题

例1:已知 XX 是一个随机变量,若 XB(6,13)XB(6,13) ,则 Pr(X=2)Pr(X=2) 等于?

:由题可知 n=6,p=13n=6,p=13 ,故

Pr(X=2)=(62)×(13)2×(113)62=(62)×(13)2×(23)4=80243


例2:某射手每次射击击中目标的概率都是 0.8 ,现在连续射击 4 次,求击中目标的次数 X 的分布列。

:在独立重复射击中,击中目标的次数 X 服从二项分布,即 XB(n,p)

由已知,得 n=4,p=45 ,则

Pr(X=k)=(4k)×(45)k×(15)4k(k=0,1,2,3,4)

然后把 k 的每种情况算出来,就可以知道分布列了,这里略去。


参考文献

[1] 二项分布 - 维基百科,自由的百科全书


文章作者: q779
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