二项分布

在概率论和统计学中，二项分布是 $n$ 个独立的 是/非试验 中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为 $p$。

这样的 单次成功/失败试验 又称为 伯努利试验 。实际上，当 $n = 1$ 时，二项分布就是伯努利分布。

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数学定义

一般来说，若随机变量 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布，我们记作 $X \sim B(n,p)$ 。$n$ 次试验中正好得到 $k$ 次成功的概率由概率质量函数给出:

$$f(k, n, p)=\operatorname{Pr}(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \quad (k \in \mathbb{N}_+)$$

该公式可以用以下方法理解：

我们希望有 $k$ 次成功和 $n-k$ 次失败。然而，$k$ 次成功可以在 $n$ 次试验的任何地方出现，而把 $k$ 次成功分布在 $n$ 次试验中共有 $\binom{n}{k}$ 个不同的方法。

可以发现 $\mathrm{Pr}(X = k)$ 就是 $(a+b)^n$ 的二项展开式中的第 $k$ 项 $(a=p, ~b = 1-p)$

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二项分布的性质

若 $X$ 是服从二项分布的随机变量（即 $X \sim B(n,p)$ ），则

• 期望为

  $$\mathrm{E}[X] = \sum_{i=1}^{n}\mu = np$$

• 方差为

  $$\mathrm{Var}[X] = \sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = np(1-p)$$

• 如果 $Y \sim B(n,p)$ 且 $X,Y$ 在同一概率空间，若 $X,Y$ 相互独立，则 $X + Y$ 服从二项分布

  $$X + Y \sim B(n + m, p)$$

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例题

例1：已知 $X$ 是一个随机变量，若 $X \sim B(6, \frac{1}{3})$ ，则 $\mathrm{Pr}(X = 2)$ 等于？

解：由题可知 $n = 6, p = \frac{1}{3}$ ，故

$$\begin{aligned} \mathrm{Pr}(X = 2) &=\binom{6}{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2\times\left(1 - \frac{1}{3}\right)^{6-2} \\[6pt]&= \binom{6}{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2\times\left(\frac{2}{3}\right)^{4} \\[6pt]&=\frac{80}{243} \end{aligned}$$

例2：某射手每次射击击中目标的概率都是 $0.8$ ，现在连续射击 $4$ 次，求击中目标的次数 $X$ 的分布列。

解：在独立重复射击中，击中目标的次数 $X$ 服从二项分布，即 $X \sim B(n,p)$ 。

由已知，得 $n = 4, p = \frac{4}{5}$ ，则

$$\mathrm{Pr}(X = k) = \binom{4}{k} \times \left(\frac{4}{5}\right)^k \times \left(\frac{1}{5}\right)^{4-k} \quad(k = 0,1,2,3,4)$$

然后把 $k$ 的每种情况算出来，就可以知道分布列了，这里略去。

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参考文献：

[1] 二项分布 - 维基百科，自由的百科全书