二项分布
在概率论和统计学中,二项分布是 nn 个独立的 是/非试验 中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为 pp。
这样的 单次成功/失败试验 又称为 伯努利试验 。实际上,当 n=1n=1 时,二项分布就是伯努利分布。
数学定义
一般来说,若随机变量 XX 服从参数为 nn 和 pp 的二项分布,我们记作 X∼B(n,p)X∼B(n,p) 。nn 次试验中正好得到 kk 次成功的概率由概率质量函数给出:
f(k,n,p)=Pr(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k(k∈N+)f(k,n,p)=Pr(X=k)=(nk)pk(1−p)n−k(k∈N+)该公式可以用以下方法理解:
我们希望有 kk 次成功和 n−kn−k 次失败。然而,kk 次成功可以在 nn 次试验的任何地方出现,而把 kk 次成功分布在 nn 次试验中共有 (nk)(nk) 个不同的方法。
可以发现 Pr(X=k)Pr(X=k) 就是 (a+b)n(a+b)n 的二项展开式中的第 kk 项 (a=p, b=1−p)(a=p, b=1−p)
二项分布的性质
若 XX 是服从二项分布的随机变量(即 X∼B(n,p)X∼B(n,p) ),则
期望为
E[X]=n∑i=1μ=npE[X]=n∑i=1μ=np方差为
Var[X]=n∑i=1σ2=np(1−p)Var[X]=n∑i=1σ2=np(1−p)如果 Y∼B(n,p)Y∼B(n,p) 且 X,YX,Y 在同一概率空间,若 X,YX,Y 相互独立,则 X+YX+Y 服从二项分布
X+Y∼B(n+m,p)X+Y∼B(n+m,p)
例题
例1:已知 XX 是一个随机变量,若 X∼B(6,13)X∼B(6,13) ,则 Pr(X=2)Pr(X=2) 等于?
解:由题可知 n=6,p=13n=6,p=13 ,故
Pr(X=2)=(62)×(13)2×(1−13)6−2=(62)×(13)2×(23)4=80243例2:某射手每次射击击中目标的概率都是 0.8 ,现在连续射击 4 次,求击中目标的次数 X 的分布列。
解:在独立重复射击中,击中目标的次数 X 服从二项分布,即 X∼B(n,p) 。
由已知,得 n=4,p=45 ,则
Pr(X=k)=(4k)×(45)k×(15)4−k(k=0,1,2,3,4)然后把 k 的每种情况算出来,就可以知道分布列了,这里略去。
参考文献: