二项分布
在概率论和统计学中,二项分布是 $n$ 个独立的 是/非试验 中成功的次数的离散概率分布,其中每次试验的成功概率为 $p$。
这样的 单次成功/失败试验 又称为 伯努利试验 。实际上,当 $n = 1$ 时,二项分布就是伯努利分布。
数学定义
一般来说,若随机变量 $X$ 服从参数为 $n$ 和 $p$ 的二项分布,我们记作 $X \sim B(n,p)$ 。$n$ 次试验中正好得到 $k$ 次成功的概率由概率质量函数给出:
该公式可以用以下方法理解:
我们希望有 $k$ 次成功和 $n-k$ 次失败。然而,$k$ 次成功可以在 $n$ 次试验的任何地方出现,而把 $k$ 次成功分布在 $n$ 次试验中共有 $\binom{n}{k}$ 个不同的方法。
可以发现 $\mathrm{Pr}(X = k)$ 就是 $(a+b)^n$ 的二项展开式中的第 $k$ 项 $(a=p, ~b = 1-p)$
二项分布的性质
若 $X$ 是服从二项分布的随机变量(即 $X \sim B(n,p)$ ),则
期望为
方差为
如果 $Y \sim B(n,p)$ 且 $X,Y$ 在同一概率空间,若 $X,Y$ 相互独立,则 $X + Y$ 服从二项分布
例题
例1:已知 $X$ 是一个随机变量,若 $X \sim B(6, \frac{1}{3})$ ,则 $\mathrm{Pr}(X = 2)$ 等于?
解:由题可知 $n = 6, p = \frac{1}{3}$ ,故
例2:某射手每次射击击中目标的概率都是 $0.8$ ,现在连续射击 $4$ 次,求击中目标的次数 $X$ 的分布列。
解:在独立重复射击中,击中目标的次数 $X$ 服从二项分布,即 $X \sim B(n,p)$ 。
由已知,得 $n = 4, p = \frac{4}{5}$ ,则
然后把 $k$ 的每种情况算出来,就可以知道分布列了,这里略去。
参考文献: