二项分布
在概率论和统计学中，二项分布是 \(n\) 个独立的 是/非试验 中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为 \(p\)。
这样的 单次成功/失败试验 又称为 伯努利试验 。实际上，当 \(n = 1\) 时，二项分布就是伯努利分布。
数学定义
一般来说，若随机变量 \(X\) 服从参数为 \(n\) 和 \(p\) 的二项分布，我们记作 \(X \sim B(n,p)\) 。\(n\) 次试验中正好得到 \(k\) 次成功的概率由概率质量函数给出: \[ f(k, n, p)=\operatorname{Pr}(X=k)=\binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \quad (k \in \mathbb{N}_+) \] 该公式可以用以下方法理解：
我们希望有 \(k\) 次成功和 \(n-k\) 次失败。然而，\(k\) 次成功可以在 \(n\) 次试验的任何地方出现，而把 \(k\) 次成功分布在 \(n\) 次试验中共有 \(\binom{n}{k}\) 个不同的方法。
可以发现 \(\mathrm{Pr}(X = k)\) 就是 \((a+b)^n\) 的二项展开式中的第 \(k\) 项 \((a=p, ~b = 1-p)\)
二项分布的性质
若 \(X\) 是服从二项分布的随机变量（即 \(X \sim B(n,p)\) ），则
期望为 \[ \mathrm{E}[X] = \sum_{i=1}^{n}\mu = np \]
方差为 \[ \mathrm{Var}[X] = \sum_{i=1}^{n}\sigma^2 = np(1-p) \]
如果 \(Y \sim B(n,p)\) 且 \(X,Y\) 在同一概率空间，若 \(X,Y\) 相互独立，则 \(X + Y\) 服从二项分布 \[ X + Y \sim B(n + m, p) \]
例题
例1：已知 \(X\) 是一个随机变量，若 \(X \sim B(6, \frac{1}{3})\) ，则 \(\mathrm{Pr}(X = 2)\) 等于？
解：由题可知 \(n = 6, p =
\frac{1}{3}\) ，故 \[
\begin{aligned}
\mathrm{Pr}(X = 2)
&=\binom{6}{2} \times \left(\frac{1}{3}\right)^2\times\left(1 -
\frac{1}{3}\right)^{6-2}
\\[6pt]&= \binom{6}{2} \times
\left(\frac{1}{3}\right)^2\times\left(\frac{2}{3}\right)^{4}
\\[6pt]&=\frac{80}{243}
\end{aligned}
\]
例2：某射手每次射击击中目标的概率都是 \(0.8\) ，现在连续射击 \(4\) 次，求击中目标的次数 \(X\) 的分布列。
解：在独立重复射击中，击中目标的次数 \(X\) 服从二项分布，即 \(X \sim B(n,p)\) 。
由已知，得 \(n = 4, p = \frac{4}{5}\) ，则 \[ \mathrm{Pr}(X = k) = \binom{4}{k} \times \left(\frac{4}{5}\right)^k \times \left(\frac{1}{5}\right)^{4-k} \quad(k = 0,1,2,3,4) \] 然后把 \(k\) 的每种情况算出来，就可以知道分布列了，这里略去。
参考文献：
