直线方程

今天属于是在垃圾堆里翻出装备了。

1. 点斜式方程

\[ y-y_0 = k(x-x_0) \]

2. 斜截式方程

\[ y-b=k(x-0) \\y=kx+b \]

3. 两点式方程

\[ \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\\dfrac{y-y_1}{x-x_1} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \]

4. 截距式方程

\[ \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b} =1 \]

5. 一般式方程

\[ Ax+By+C=0 \\y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B} \]

6. 点 \(Q(x_0,y_0)\) 到直线 \(Ax_0+By_0+C=0\) 的距离公式

\[ d=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

7. 两平行直线的距离公式 \[ d=\dfrac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

8. 两直线交点：联立两个直线方程即可

9. 中点坐标公式 \[ \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right) \]

10. 三角形的重心坐标公式 \[ \left(\dfrac{x_a+x_b+x_c}{3},\dfrac{y_a+y_b+y_c}{3}\right) \]

11. 两点距离公式（欧几里得距离）

    \[ d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

12. 直线平行条件

    \[ A_1B_2-A_2B_1 = 0 \land B_1C_2-B_2C_1 \ne 0 \]

13. 直线垂直条件

    \[ A_1A_2+B_1B_2=0 \]

14. 对称问题

    1. 点关于点对称

       解：中点坐标公式

    2. 点关于直线对称

       解：中点坐标公式

    3. 直线关于点对称

       解1：直线上取两点分别对称（两点确定一直线）

       解2：取一点对称+关于点对称后直线的斜率不变

    4. 直线A关于直线B对称

       解：直线A上找一点并求关于B直线的对称点，然后和交点联立

    5. 常用点的对称如下

       点	\((a,b)\)
       关于原点对称	\((-a,-b)\)
       关于 \(x\) 轴对称	\((a,-b)\)
       关于 \(y\) 轴对称	\((-a,b)\)
       关于直线 \(y=x\) 对称	\((b,a)\)
       关于直线 \(y=-x\) 对称	\((-b,-a)\)
       关于直线 \(x=n\) 对称	\((2n-a,b)\)
       关于直线 \(y=m\) 对称	\((a,2m-b)\)

    6. 常用直线对称如下

       直线	\(Ax+By+C=0\)
       关于原点对称	\(A\cdot (-x) + B\cdot (-y)+C=0\)
       关于 \(x\) 轴对称	\(Ax+B\cdot(-y)+C=0\)
       关于 \(y\) 轴对称	\(A\cdot (-x) + By + C=0\)
       关于直线 \(y=x\) 对称	\(Bx+Ay+C=0\)
       关于直线 \(y=-x\) 对称（不同于关于原点对称！）	\(A\cdot(-y) + B\cdot(-x) + C = 0\)