直线方程

直线方程的几种形式

名称	已知条件	标准方程	适用范围
点斜式	斜率 $k$ ，直线上一点 $(x_0,y_0)$	$y-y_0 = k(x-x_0)$	斜率 $k$ 存在
斜截式	斜率 $k$ ，$y$ 轴上截距 $b$	$y=kx+b$	斜率 $k$ 存在
两点式	直线上两个定点 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_1\ne x_2,y_1\ne y_2)$	$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}$	不垂直于坐标轴
截距式	$x,y$ 轴上的截距 $a,b(ab\ne 0)$	$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b} =1$	不垂直于坐标轴且不过原点
一般式	$A,B$ 不同时等于 $0$	$Ax+By+C=0$	通用

1. 点 $(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax+By+C=0$ 的距离公式

$$d=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

1. 两平行直线的距离公式

   $$d=\dfrac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

2. 两直线交点：联立两个直线方程即可

3. 中点坐标公式

   $$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$$

4. 三角形的重心坐标公式

   $$\left(\dfrac{x_a+x_b+x_c}{3},\dfrac{y_a+y_b+y_c}{3}\right)$$

5. 两点距离公式（欧几里得距离）

   $$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

6. 直线平行条件

   $$\begin{cases} A_1B_2-A_2B_1 = 0, \\[6pt]A_1C_2-A_2C_1 \ne 0 \,\text{或}\,B_1C_2-B_2C_1 \ne 0 \end{cases}$$

   $A_1C_2-A_2C_1 \ne 0$ 不适用于 $A_1=A_2=0$ 的情况；

   $B_1C_2-B_2C_1 \ne 0$ 不适用于 $B_1=B_2=0$ 的情况。

7. 直线垂直条件

   $$A_1A_2+B_1B_2=0$$

1. 已知直线斜率为 $k$ ，直线上两点的距离可由弦长公式得到

   $$\begin{aligned} |AB|&=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \\[6pt]&=\sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| &(k\ne 0) \end{aligned}$$

   这个在圆锥曲线中十分有用，详见 切点弦方程

2. 直线对称问题

   点关于点对称 解法=中点坐标公式

   点关于直线对称 解法=中点坐标公式

   直线关于点对称

   解1：直线上取两点分别对称（两点确定一直线）

   解2：取一点对称+关于点对称后直线的斜率不变

   直线A关于直线B对称

   解：直线A上找一点并求关于B直线的对称点，然后和交点联立

常用点的对称如下

点	$(a,b)$
关于原点对称	$(-a,-b)$
关于 $x$ 轴对称	$(a,-b)$
关于 $y$ 轴对称	$(-a,b)$
关于直线 $y=x$ 对称	$(b,a)$
关于直线 $y=-x$ 对称	$(-b,-a)$
关于直线 $x=n$ 对称	$(2n-a,b)$
关于直线 $y=m$ 对称	$(a,2m-b)$

常用直线对称如下

直线	$Ax+By+C=0$
关于原点对称	$A\cdot (-x) + B\cdot (-y)+C=0$
关于 $x$ 轴对称	$Ax+B\cdot(-y)+C=0$
关于 $y$ 轴对称	$A\cdot (-x) + By + C=0$
关于直线 $y=x$ 对称	$Bx+Ay+C=0$
关于直线 $y=-x$ 对称	$A\cdot(-y) + B\cdot(-x) + C = 0$

注意「关于直线 $y=-x$ 对称」和「关于原点对称」是不同的。