直线方程

今天属于是在垃圾堆里翻出装备了。

1. 点斜式方程

$$y-y_0 = k(x-x_0)$$

1. 斜截式方程

$$y-b=k(x-0) \\y=kx+b$$

1. 两点式方程

$$\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\\dfrac{y-y_1}{x-x_1} = \dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

1. 截距式方程

$$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b} =1$$

1. 一般式方程

$$Ax+By+C=0 \\y=-\dfrac{A}{B}x-\dfrac{C}{B}$$

1. 点 $Q(x_0,y_0)$ 到直线 $Ax_0+By_0+C=0$ 的距离公式

$$d=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

1. 两平行直线的距离公式

   $$d=\dfrac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

2. 两直线交点：联立两个直线方程即可

3. 中点坐标公式

   $$\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$$

1. 三角形的重心坐标公式 $$\left(\dfrac{x_a+x_b+x_c}{3},\dfrac{y_a+y_b+y_c}{3}\right)$$

1. 两点距离公式（欧几里得距离）

   $$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

2. 直线平行条件

   $$A_1B_2-A_2B_1 = 0 \land B_1C_2-B_2C_1 \ne 0$$

1. 直线垂直条件

   $$A_1A_2+B_1B_2=0$$

1. 对称问题

   1. 点关于点对称

      解：中点坐标公式

   2. 点关于直线对称

      解：中点坐标公式

   3. 直线关于点对称

      解1：直线上取两点分别对称（两点确定一直线）

      解2：取一点对称+关于点对称后直线的斜率不变

   4. 直线A关于直线B对称

      解：直线A上找一点并求关于B直线的对称点，然后和交点联立

   5. 常用点的对称如下

      | 点 | $(a,b)$ |
      | —————————— | ————— |
      | 关于原点对称 | $(-a,-b)$ |
      | 关于 $x$ 轴对称 | $(a,-b)$ |
      | 关于 $y$ 轴对称 | $(-a,b)$ |
      | 关于直线 $y=x$ 对称 | $(b,a)$ |
      | 关于直线 $y=-x$ 对称 | $(-b,-a)$ |
      | 关于直线 $x=n$ 对称 | $(2n-a,b)$ |
      | 关于直线 $y=m$ 对称 | $(a,2m-b)$ |

6. 常用**直线对称**如下

   | 直线                                             | $Ax+By+C=0$                       |
   | ------------------------------------------------ | --------------------------------- |
   | 关于原点对称                                     | $A\cdot (-x) + B\cdot (-y)+C=0$   |
   | 关于 $x$ 轴对称                                  | $Ax+B\cdot(-y)+C=0$               |
   | 关于 $y$ 轴对称                                  | $A\cdot (-x) + By + C=0$          |
   | 关于直线 $y=x$ 对称                              | $Bx+Ay+C=0$                       |
   | 关于直线 $y=-x$ 对称（**不同于关于原点对称**！） | $A\cdot(-y) + B\cdot(-x) + C = 0$ |