直线方程

直线方程的几种形式

名称	已知条件	标准方程	适用范围
点斜式	斜率 \(k\) ，直线上一点 \((x_0,y_0)\)	\(y-y_0 = k(x-x_0)\)	斜率 \(k\) 存在
斜截式	斜率 \(k\) ，\(y\) 轴上截距 \(b\)	\(y=kx+b\)	斜率 \(k\) 存在
两点式	直线上两个定点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)(x_1\ne x_2,y_1\ne y_2)\)	\(\dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1}\)	不垂直于坐标轴
截距式	\(x,y\) 轴上的截距 \(a,b(ab\ne 0)\)	\(\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b} =1\)	不垂直于坐标轴且不过原点
一般式	\(A,B\) 不同时等于 \(0\)	\(Ax+By+C=0\)	通用

1. 点 \((x_0,y_0)\) 到直线 \(Ax+By+C=0\) 的距离公式

\[ d=\dfrac{\left|Ax_0+By_0+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

2. 两平行直线的距离公式 \[ d=\dfrac{\left|C_1-C_2\right|}{\sqrt{A^2+B^2}} \]

3. 两直线交点：联立两个直线方程即可

4. 中点坐标公式 \[ \left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\dfrac{y_1+y_2}{2}\right) \]

5. 三角形的重心坐标公式 \[ \left(\dfrac{x_a+x_b+x_c}{3},\dfrac{y_a+y_b+y_c}{3}\right) \]

6. 两点距离公式（欧几里得距离）

   \[ d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2} \]

7. 直线平行条件

   \[ \begin{cases} A_1B_2-A_2B_1 = 0, \\[6pt]A_1C_2-A_2C_1 \ne 0 \,\text{或}\,B_1C_2-B_2C_1 \ne 0 \end{cases} \] \(A_1C_2-A_2C_1 \ne 0\) 不适用于 \(A_1=A_2=0\) 的情况；

   \(B_1C_2-B_2C_1 \ne 0\) 不适用于 \(B_1=B_2=0\) 的情况。

8. 直线垂直条件

   \[ A_1A_2+B_1B_2=0 \]

9. 已知直线斜率为 \(k\) ，直线上两点的距离可由弦长公式得到 \[ \begin{aligned} |AB|&=\sqrt{1+k^2}\left|x_1-x_2\right| \\[6pt]&=\sqrt{1 + \frac{1}{k^2}}\left|y_1-y_2\right| &(k\ne 0) \end{aligned} \] 这个在圆锥曲线中十分有用，详见 切点弦方程

10. 直线对称问题

    点关于点对称 解法=中点坐标公式

    点关于直线对称 解法=中点坐标公式

    直线关于点对称

    解1：直线上取两点分别对称（两点确定一直线）

    解2：取一点对称+关于点对称后直线的斜率不变

    直线A关于直线B对称

    解：直线A上找一点并求关于B直线的对称点，然后和交点联立

常用点的对称如下

点	\((a,b)\)
关于原点对称	\((-a,-b)\)
关于 \(x\) 轴对称	\((a,-b)\)
关于 \(y\) 轴对称	\((-a,b)\)
关于直线 \(y=x\) 对称	\((b,a)\)
关于直线 \(y=-x\) 对称	\((-b,-a)\)
关于直线 \(x=n\) 对称	\((2n-a,b)\)
关于直线 \(y=m\) 对称	\((a,2m-b)\)

常用直线对称如下

直线	\(Ax+By+C=0\)
关于原点对称	\(A\cdot (-x) + B\cdot (-y)+C=0\)
关于 \(x\) 轴对称	\(Ax+B\cdot(-y)+C=0\)
关于 \(y\) 轴对称	\(A\cdot (-x) + By + C=0\)
关于直线 \(y=x\) 对称	\(Bx+Ay+C=0\)
关于直线 \(y=-x\) 对称	\(A\cdot(-y) + B\cdot(-x) + C = 0\)

注意「关于直线 \(y=-x\) 对称」和「关于原点对称」是不同的。