全概率公式&贝叶斯公式

全概率公式

设 \(B_1,B_2 ,\dots B_n\) 为一组两两互斥的事件，且有 \[ \bigcup\limits_{1 \le i \le n} B_i = \Omega \] 则对任意的事件 \(A \in \Omega\) 有 \[ P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i) \] 贝叶斯公式

设 \(B_1,B_2 ,\dots B_n\) 为一组两两互斥的事件，且有 \[ \bigcup\limits_{1 \le i \le n} B_i = \Omega \] 则对任意的事件 \(A \subseteq \Omega,~A \ne \varnothing\) 有 \[ P(B_i \mid A) = \dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)} = \dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)} \]