全概率公式&贝叶斯公式

全概率公式

设 $B_1,B_2 ,\dots B_n$ 为一组两两互斥的事件，且有

$$\bigcup\limits_{1 \le i \le n} B_i = \Omega$$

则对任意的事件 $A \in \Omega$ 有

$$P(A) = \sum_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)$$

贝叶斯公式

设 $B_1,B_2 ,\dots B_n$ 为一组两两互斥的事件，且有

$$\bigcup\limits_{1 \le i \le n} B_i = \Omega$$

则对任意的事件 $A \subseteq \Omega,~A \ne \varnothing$ 有

$$P(B_i \mid A) = \dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{P(A)} = \dfrac{P(B_i)P(A\mid B_i)}{\sum_{i=1}^n P(B_i)P(A \mid B_i)}$$