辅助角公式及其证明

不知道什么时候写的，属于未发布状态，嗨害嘿。

辅助角公式： \[ a\sin x+b\cos x = \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(\textstyle x + \arctan \frac{b}{a}\right) \] 证明：

设 \(-\frac{\pi}{2}<\vartheta<\frac{\pi}{2}\) ，使得 \[ \cos \vartheta =\dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \\ \sin \vartheta = \dfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \] 则 \(\vartheta = \arctan \frac{b}{a}\) ，故 \[ \begin{aligned} a\sin x + b\cos x &= \sqrt{a^2+b^2}(\cos \vartheta \sin x + \sin \vartheta \cos x) \\[6pt]&= \sqrt{a^2+b^2} \sin(x + \vartheta) \\[6pt]&= \sqrt{a^2+b^2} \sin\left(\textstyle x + \arctan \frac{b}{a}\right) &&\square \end{aligned} \]