算法图论总结咕咕

发布日期: 2022-10-22

更新日期: 2024-01-23

文章字数: 6.6k

图论相关概念

是时候写这篇总结了。部分内容还有待考证。

不过大部分都是直接从参考文献[1] 搬过来的。

图的定义

图 (graph) 是一个二元组 $G=(V(G), E(G))$ ，其中：

$V(G)$ 是非空集，称为 点集 (vertex set) 。

对于 $V(G)$ 中的每个元素，我们称其为 顶点 (vertex) 或 节点 (node)，简称点。

$\left| V(G) \right|$ 也被称作图 $G$ 的 阶 (order)。
$E(G)$ 为 $V(G)$ 各节点之间边的集合，称为 边集 (edge set)。

形象地说，图是由若干点以及连接点与点的边构成的。

事实上，我们常用 $G=(V,E)$ 表示图，其中 $V$ 表示点集，$E$ 表示边集。

带权图

若 $G$ 的每条边 $e_k=(u_k,v_k)$ 都被赋予一个数作为该边的权，则称 $G$ 为 赋权图 或 带权图。

如果这些权都是正实数，就称 $G$ 为 正权图。

有限图与无限图

设 $G = (V,E)$ ，则

当 $V$ 和 $E$ 都是有限集合时，称 $G$ 为 有限图。

当 $V$ 或 $E$ 是无限集合时，称 $G$ 为 无限图。

无向图、有向图、混合图

图有多种，包括 无向图 (undirected graph)，有向图 (directed graph)，混合图 (mixed graph) 等。

若 $G$ 为无向图，则 $E$ 中的每个元素为一个无序二元组 $(u, v)$，称作 无向边 (undirected edge)，简称 边 (edge)，其中 $u, v \in V$。设 $e = (u, v)$，则 $u$ 和 $v$ 称为 $e$ 的 端点 (endpoint)。
若 $G$ 为有向图，则 $E$ 中的每一个元素为一个有序二元组 $(u, v)$，有时也写作 $u \to v$，称作 有向边 (directed edge) 或 弧 (arc)，在不引起混淆的情况下也可以称作 边 (edge)。设 $e = u \to v$，则此时 $u$ 称为 $e$ 的 起点 (tail)，$v$ 称为 $e$ 的 终点 (head)，起点和终点也称为 $e$ 的 端点 (endpoint)。并称 $u$ 是 $v$ 的直接前驱，$v$ 是 $u$ 的直接后继。
若 $G$ 为混合图，则 $E$ 中既有向边，又有无向边。

为什么起点是 tail，终点是 head 呢？

因为边通常用箭头表示，而箭头是从“尾”指向“头”的。

“节点” 与 “结点”

~~不知道你有没有好奇过~~， “节点” 和 “结点” 究竟有什么区别？

节点是一个实体具有处理的能力
结点是一个交叉点，是一个标记，一般算法中的点都称为结点。

节点被认为是一个实体，有处理能力，比如网络上的一台计算机。

而结点则只是一个交叉点，像“结绳记事”，打个结，做个标记，仅此而已。

在数据结构中，对于线性结构通常用“结点”描述，对于非线性结构通常用“节点”描述。

然而“节点”和“结点”的混淆使用已成普遍现象。

相邻

在无向图 $G = (V, E)$ 中，若点 $v$ 是边 $e$ 的一个端点，则称 $v$ 和 $e$ 是 关联的 (incident) 或 相邻的 (adjacent)。对于两顶点 $u$ 和 $v$，若存在边 $(u, v)$，则称 $u$ 和 $v$ 是 相邻的 (adjacent)。

一个顶点 $v \in V$ 的 邻域 (neighborhood) 是所有与之相邻的顶点所构成的集合，记作 $N(v)$。

一个点集 $S$ 的邻域是所有与 $S$ 中至少一个点相邻的点所构成的集合，记作 $N(S)$，即：

$N(S) = \bigcup_{v \in S} N(v)$

度数

与一个顶点 $v$ 关联的边的条数称作该顶点的 度 (degree)，记作 $d(v)$。特别地，对于边 $(v, v)$，则每条这样的边要对 $d(v)$ 产生 $2$ 的贡献。

对于无向简单图，有 $d(v) = \left| N(v) \right|$。

握手定理（又称图论基本定理）：对于任何无向图 $G = (V, E)$，有 $\sum_{v \in V} d(v) = 2 \left| E \right|$。

推论：在任意图中，度数为奇数的点必然有偶数个。

若 $d(v) = 0$，则称 $v$ 为 孤立点 (isolated vertex)。

若 $d(v) = 1$，则称 $v$ 为 叶节点 (leaf vertex)/悬挂点 (pendant vertex)。

若 $2 \mid d(v)$，则称 $v$ 为 偶点 (even vertex)。

若 $2 \nmid d(v)$，则称 $v$ 为 奇点 (odd vertex)。图中奇点的个数是偶数。

若 $d(v) = \left| V \right| - 1$，则称 $v$ 为 支配点 (universal vertex)。

对一张图，所有节点的度数的最小值称为 $G$ 的 最小度 (minimum degree)，记作 $\delta (G)$；最大值称为 最大度 (maximum degree)，记作 $\Delta (G)$。即：$\delta (G) = \min_{v \in G} d(v)$，$\Delta (G) = \max_{v \in G} d(v)$。

在有向图 $G = (V, E)$ 中，以一个顶点 $v$ 为起点的边的条数称为该顶点的 出度 (out-degree)，记作 $d^+(v)$。以一个顶点 $v$ 为终点的边的条数称为该节点的 入度 (in-degree)，记作 $d^-(v)$。显然 $d^+(v)+d^-(v)=d(v)$。

对于任何有向图 $G = (V, E)$，有：

$\sum_{v \in V} d^+(v) = \sum_{v \in V} d^-(v) = \left| E \right|$

若对一张无向图 $G = (V, E)$，每个顶点的度数都是一个固定的常数 $k$，则称 $G$ 为 $k$ - 正则图 ($k$-regular graph)。

如果给定一个序列 $a$，可以找到一个图 $G$，以其为度数列，则称 $a$ 是 可图化 的。

如果给定一个序列 $a$，可以找到一个简单图 $G$，以其为度数列，则称 $a$ 是 可简单图化 的。

简单图

自环 (loop)：对 $E$ 中的边 $e = (u, v)$，若 $u = v$，则 $e$ 被称作一个自环。

重边 (multiple edge)：若 $E$ 中存在两个完全相同的元素（边）$e_1, e_2$，则它们被称作（一组）重边。

在无向图中 $(u, v)$ 和 $(v, u)$ 算一组重边，而在有向图中，$u \to v$ 和 $v \to u$ 不为重边。

在题目中，如果没有特殊说明，是可以存在自环和重边的，在做题时需特殊考虑。

简单图 (simple graph)：若一个图中没有自环和重边，它被称为简单图。具有至少两个顶点的简单无向图中一定存在度相同的节点。（鸽巢原理）

如果一张图中有自环或重边，则称它为 多重图 (multigraph)。

路径

途径 (walk)：途径是连接一连串顶点的边的序列，可以为有限或无限长度。形式化地说，一条有限途径 $w$ 是一个边的序列 $e_1, e_2, \ldots, e_k$，使得存在一个顶点序列 $v_0, v_1, \ldots, v_k$ 满足 $e_i = (v_{i-1}, v_i)$，其中 $i \in [1, k]$。这样的途径可以简写为 $v_0 \to v_1 \to v_2 \to \cdots \to v_k$。通常来说，边的数量 $k$ 被称作这条途径的长度（如果边是带权的，长度通常指途径上的边权之和，题目中也可能另有定义）。

迹 (trail)：对于一条途径 $w$，若 $e_1, e_2, \ldots, e_k$ 两两互不相同，则称 $w$ 是一条迹。

路径 (path)（又称 简单路径 (simple path))：对于一条迹 $w$，若其连接的点的序列中点两两不同，则称 $w$ 是一条路径。

回路 (circuit)：对于一条迹 $w$，若 $v_0 = v_k$，则称 $w$ 是一条回路。

环/圈 (cycle)（又称 简单回路/简单环 (simple circuit))：对于一条回路 $w$，若 $v_0 = v_k$ 是点序列中唯一重复出现的点对，则称 $w$ 是一个环。

欧拉通路：通过无向图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路。

欧拉回路：通过无向图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路。

哈密顿通路：通过无向图中所有顶点一次且仅一次的通路。

哈密顿回路：通过无向图中所有顶点一次且仅一次的回路。

欧拉图：若无向图存在欧拉回路，则该无向图为欧拉图

注意欧拉图不一定联通因为它只要求经过所有边

例如四个节点的无向图，边为 (1,2),(2,3),(1,3) ，4 是个单点

关于路径的定义在不同地方可能有所不同，如，“路径”可能指本文中的“途径”，“环”可能指本文中的“回路”。如果在题目中看到类似的词汇，且没有“简单路径”/“非简单路径”（即本文中的“途径”）等特殊说明，最好询问一下具体指什么。

图的直径：记 $d(u,v)$ 表示 $u$ 到 $v$ 的一条最短路径的长，则图的直径为 $\max_{u\ne v} d(u,v)$ 。

子图

对一张图 $G = (V, E)$，若存在另一张图 $H = (V’, E’)$ 满足 $V’ \subseteq V$ 且 $E’ \subseteq E$，则称 $H$ 是 $G$ 的 子图 (subgraph)，记作 $H \subseteq G$。

若对 $H \subseteq G$，满足 $\forall u, v \in V’$，只要 $(u, v) \in E$，均有 $(u, v) \in E’$，则称 $H$ 是 $G$ 的 导出子图/诱导子图 (induced subgraph)。

容易发现，一个图的导出子图仅由子图的点集决定，因此点集为 $V’$($V’ \subseteq V$) 的导出子图称为 $V’$ 导出的子图，记作 $G \left[ V’ \right]$。

若 $H \subseteq G$ 满足 $V’ = V$，则称 $H$ 为 $G$ 的 生成子图/支撑子图 (spanning subgraph)。

显然，$G$ 是自身的子图，支撑子图，导出子图；无边图是 $G$ 的支撑子图。原图 $G$ 和无边图都是 $G$ 的平凡子图。

如果一张无向图 $G$ 的某个生成子图 $F$ 为 $k$- 正则图，则称 $F$ 为 $G$ 的一个 $k$- 因子 ($k$-factor)。

如果有向图 $G = (V, E)$ 的导出子图 $H = G \left[ V^\ast \right]$ 满足 $\forall v \in V^\ast, (v, u) \in E$，有 $u \in V^\ast$，则称 $H$ 为 $G$ 的一个 闭合子图 (closed subgraph)。

若图 $G=(V,E)$ 的点集 $V$ 可以被分解为 $k$ 个两两不交非空子集的并，并且没有任何一条边的两个端点都在同一个子集中，则称 $G$ 为 $k$ 部图 ，记作 $G = (V_1,V_2,\cdots,V_k;E)$ 。当 $k=2$ 时，我们通常称之为二分图或偶图，见下文。

若 $k$ 部图 $G = (V_1,V_2,\cdots,V_k;E)$ 中，任何两点 $u \in V_i,v \in V_j, i \ne j$ 均有 $(i,j) \in E$ ，则称 $G$ 为完全 $k$ 部图

图的连通性

无向图

对于一张无向图 $G = (V, E)$，对于 $u, v \in V$，若存在一条途径使得 $v_0 = u, v_k = v$，则称 $u$ 和 $v$ 是 连通的 (connected)。由定义，任意一个顶点和自身连通，任意一条边的两个端点连通。

若无向图 $G = (V, E)$，满足其中任意两个顶点均连通，则称 $G$ 是 连通图 (connected graph)，$G$ 的这一性质称作 连通性 (connectivity)。

若 $H$ 是 $G$ 的一个连通子图，且不存在 $F$ 满足 $H\subsetneq F \subseteq G$ 且 $F$ 为连通图，则 $H$ 是 $G$ 的一个 连通块/连通分量 (connected component)（极大连通子图）。

有向图

对于一张有向图 $G = (V, E)$，对于 $u, v \in V$，若存在一条途径使得 $v_0 = u, v_k = v$，则称 $u$ 可达 $v$。由定义，任意一个顶点可达自身，任意一条边的起点可达终点。（无向图中的连通也可以视作双向可达。）

若一张有向图的节点两两互相可达，则称这张图是 强连通的 (strongly connected)。

若一张有向图的边替换为无向边后可以得到一张连通图，则称原来这张有向图是 弱连通的 (weakly connected)。

与连通分量类似，也有 弱连通分量 (weakly connected component)（极大弱连通子图）和 强连通分量 (strongly connected component)（极大强连通子图）。

割

在本部分中，有向图的“连通”一般指“强连通”。

对于连通图 $G = (V, E)$，若 $V’\subseteq V$ 且 $G\left[V\setminus V’\right]$（即从 $G$ 中删去 $V’$ 中的点）不是连通图，则 $V’$ 是图 $G$ 的一个 点割集 (vertex cut/separating set)。大小为一的点割集又被称作 割点 (cut vertex)。

对于连通图 $G = (V, E)$ 和整数 $k$，若 $|V|\ge k+1$ 且 $G$ 不存在大小为 $k-1$ 的点割集，则称图 $G$ 是 $k$- 点连通的 ($k$-vertex-connected)，而使得上式成立的最大的 $k$ 被称作图 $G$ 的 点连通度 (vertex connectivity)，记作 $\kappa(G)$。（对于非完全图，点连通度即为最小点割集的大小，而完全图 $K_n$ 的点连通度为 $n-1$。）

对于图 $G = (V, E)$ 以及 $u, v\in V$ 满足 $u\ne v$，$u$ 和 $v$ 不相邻，$u$ 可达 $v$，若 $V’\subseteq V$，$u, v\notin V’$，且在 $G\left[V\setminus V’\right]$ 中 $u$ 和 $v$ 不连通，则 $V’$ 被称作 $u$ 到 $v$ 的点割集。$u$ 到 $v$ 的最小点割集的大小被称作 $u$ 到 $v$ 的 局部点连通度 (local connectivity)，记作 $\kappa(u, v)$。

还可以在边上作类似的定义：

对于连通图 $G = (V, E)$，若 $E’\subseteq E$ 且 $G’ = (V, E\setminus E’)$（即从 $G$ 中删去 $E’$ 中的边）不是连通图，则 $E’$ 是图 $G$ 的一个 边割集 (edge cut)。大小为一的边割集又被称作 桥 (bridge)。

对于连通图 $G = (V, E)$ 和整数 $k$，若 $G$ 不存在大小为 $k-1$ 的边割集，则称图 $G$ 是 $k$- 边连通的 ($k$-edge-connected)，而使得上式成立的最大的 $k$ 被称作图 $G$ 的 边连通度 (edge connectivity)，记作 $\lambda(G)$。（对于任何图，边连通度即为最小边割集的大小。）

对于图 $G = (V, E)$ 以及 $u, v\in V$ 满足 $u\ne v$，$u$ 可达 $v$，若 $E’\subseteq E$，且在 $G’=(V, E\setminus E’)$ 中 $u$ 和 $v$ 不连通，则 $E’$ 被称作 $u$ 到 $v$ 的边割集。$u$ 到 $v$ 的最小边割集的大小被称作 $u$ 到 $v$ 的 局部边连通度 (local edge-connectivity)，记作 $\lambda(u, v)$。

点双连通 (biconnected) 几乎与 $2$- 点连通完全一致，除了一条边连接两个点构成的图，它是点双连通的，但不是 $2$- 点连通的。换句话说，没有割点的连通图是点双连通的。

边双连通 ($2$-edge-connected) 与 $2$- 边双连通完全一致。换句话说，没有桥的连通图是边双连通的。

与连通分量类似，也有 点双连通分量 (biconnected component)（极大点双连通子图）和 边双连通分量 ($2$-edge-connected component)（极大边双连通子图）。

Whitney 定理：对任意的图 $G$，有 $\kappa(G)\le \lambda(G)\le \delta(G)$。（不等式中的三项分别为点连通度、边连通度、最小度。）

稀疏图/稠密图

若一张图的边数远小于其点数的平方，那么它是一张 稀疏图 (sparse graph)。

若一张图的边数接近其点数的平方，那么它是一张 稠密图 (dense graph)。

这两个概念并没有严格的定义，一般用于讨论时间复杂度为 $\mathcal{O}(|V|^2)$ 的算法与 $\mathcal{O}(|E|)$ 的算法的效率差异（在稠密图上这两种算法效率相当，而在稀疏图上 $\mathcal{O}(|E|)$ 的算法效率明显更高）。

经典的例子：正权图单源最短路径算法 Dijkstra

朴素做法 $\mathcal{O}(|E| + |V|^2)$ ，常见的优先队列优化 $\mathcal{O}\left((|V|+|E|) \log |E| \right)$ ，详见 Dijkstra及其复杂度证明

补图

对于无向简单图 $G = (V, E)$，它的 补图 (complement graph) 指的是这样的一张图：记作 $\bar G$，满足 $V ( \bar G ) = V \left( G \right)$，且对任意节点对 $(u, v)$，$(u, v) \in E ( \bar G )$ 当且仅当 $(u, v) \notin E \left( G \right)$。

反图

对于有向图 $G = (V, E)$，它的 反图 (transpose graph) 指的是点集不变，每条边反向得到的图，即：若 $G$ 的反图为 $G’=(V, E’)$，则 $E’=\{(v, u)|(u, v)\in E\}$。

特殊的图

若无向简单图 $G$ 满足任意不同两点间均有边，则称 $G$ 为 完全图 (complete graph)，$n$ 阶完全图记作 $K_n$。若有向图 $G$ 满足任意不同两点间都有两条方向不同的边，则称 $G$ 为 有向完全图 (complete digraph)。

边集为空的图称为 无边图 (edgeless graph)、空图 (empty graph) 或 零图 (null graph)，$n$ 阶无边图记作 $\overline{K}_n$ 或 $N_n$。$N_n$ 与 $K_n$ 互为补图。

注意，零图 (null graph) 也可指 零阶图 (order-zero graph) $K_0$，即点集与边集均为空的图。

若有向简单图 $G$ 满足任意不同两点间都有恰好一条边（单向），则称 $G$ 为 竞赛图 (tournament graph)。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 的所有边恰好构成一个圈，则称 $G$ 为 环图/圈图 (cycle graph)，$n$($n \geq 3$) 阶圈图记作 $C_n$。易知，一张图为圈图的充分必要条件是，它是 $2$- 正则连通图。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 满足，存在一个点 $v$ 为支配点，其余点之间没有边相连，则称 $G$ 为 星图/菊花图 (star graph)，$n + 1$($n \geq 1$) 阶星图记作 $S_n$。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 满足，存在一个点 $v$ 为支配点，其它点之间构成一个圈，则称 $G$ 为 轮图 (wheel graph)，$n + 1$($n \geq 3$) 阶轮图记作 $W_n$。

若无向简单图 $G = \left( V, E \right)$ 的所有边恰好构成一条简单路径，则称 $G$ 为 链 (chain/path graph)，$n$ 阶的链记作 $P_n$。易知，一条链由一个圈图删去一条边而得。

如果一张无向连通图不含环，则称它是一棵 树 (tree)。

如果一张无向连通图包含恰好一个环，则称它是一棵 基环树 (pseudotree)。

如果一张有向弱连通图每个点的入度都为 $1$，则称它是一棵 基环外向树。

如果一张有向弱连通图每个点的出度都为 $1$，则称它是一棵 基环内向树。

多棵树可以组成一个 森林 (forest)，多棵基环树可以组成 基环森林 (pseudoforest)，多棵基环外向树可以组成 基环外向树森林，多棵基环内向树可以组成 基环内向森林 (functional graph)。

如果一张无向连通图的每条边最多在一个环内，则称它是一棵 仙人掌 (cactus)。多棵仙人掌可以组成沙漠。

这里的采用了边仙人掌的定义，点仙人掌的定义为：每个节点最多在一个环内。

基本上没啥区别，目前只在洛谷P2478 [SDOI2010]城市规划里碰到过点仙人掌。

如果一张图的点集可以被分为两部分，每一部分的内部都没有连边，那么这张图是一张 二分图 (bipartite graph)。如果二分图中任何两个不在同一部分的点之间都有连边，那么这张图是一张 完全二分图 (complete bipartite graph/biclique)，一张两部分分别有 $n$ 个点和 $m$ 个点的完全二分图记作 $K_{n, m}$。

如果一张图可以画在一个平面上，且没有两条边在非端点处相交，那么这张图是一张 平面图 (planar graph)。一张图的任何子图都不是 $K_5$ 或 $K_{3, 3}$ 是其为一张平面图的充要条件。对于简单连通平面图 $G=(V, E)$ 且 $V\ge 3$，$|E|\le 3|V|-6$。

图的同构

两个图 $G$ 和 $H$，如果存在一个双射 $f : V(G) \to V(H)$，且满足 $(u,v)\in E(G)$，当且仅当 $(f(u),f(v))\in E(H)$，则我们称 $f$ 为 $G$ 到 $H$ 的一个 同构 (isomorphism)，且图 $G$ 与图 $H$ 是 同构的 (isomorphic)，记作 $G \cong H$。

从定义可知，若 $G \cong H$，必须满足：

$|V(G)|=|V(H)|,|E(G)|=|E(H)|$
$G$ 和 $H$ 节点度的非增序列相同
$G$ 和 $H$ 存在同构的导出子图

无向简单图的二元运算

对于无向简单图，我们可以定义如下二元运算：

交 (intersection)：图 $G = \left( V_1, E_1 \right), H = \left( V_2, E_2 \right)$ 的交定义成图 $G \cap H = \left( V_1 \cap V_2, E_1 \cap E_2 \right)$。

容易证明两个无向简单图的交还是无向简单图。

并 (union)：图 $G = \left( V_1, E_1 \right), H = \left( V_2, E_2 \right)$ 的并定义成图 $G \cup H = \left( V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \right)$。

和 (sum)/直和 (direct sum)：对于 $G = \left( V_1, E_1 \right), H = \left( V_2, E_2 \right)$，任意构造 $H’ \cong H$ 使得 $V \left( H’ \right) \cap V_1 = \varnothing$($H’$ 可以等于 $H$)。此时与 $G \cup H’$ 同构的任何图称为 $G$ 和 $H$ 的和/直和/不交并，记作 $G + H$ 或 $G \oplus H$。

若 $G$ 与 $H$ 的点集本身不相交，则 $G \cup H = G + H$。

比如，森林可以定义成若干棵树的和。

并与和的区别

可以理解为，“并”会让两张图中“名字相同”的点、边合并，而“和”则不会。

特殊的点集/边集

支配集

对于无向图 $G=(V, E)$，若 $V’\subseteq V$ 且 $\forall v\in(V\setminus V’)$ 存在边 $(u, v)\in E$ 满足 $u\in V’$，则 $V’$ 是图 $G$ 的一个 支配集 (dominating set)。

无向图 $G$ 最小的支配集的大小记作 $\gamma(G)$。求一张图的最小支配集是 NP 困难的。

对于有向图 $G=(V, E)$，若 $V’\subseteq V$ 且 $\forall v\in(V\setminus V’)$ 存在边 $(u, v)\in E$ 满足 $u\in V’$，则 $V’$ 是图 $G$ 的一个 出 - 支配集 (out-dominating set)。类似地，可以定义有向图的 入 - 支配集 (in-dominating set)。

有向图 $G$ 最小的出 - 支配集大小记作 $\gamma^+(G)$，最小的入 - 支配集大小记作 $\gamma^-(G)$。

边支配集

对于图 $G=(V, E)$，若 $E’\subseteq E$ 且 $\forall e\in(E\setminus E’)$ 存在 $E’$ 中的边与其有公共点，则称 $E’$ 是图 $G$ 的一个 边支配集 (edge dominating set)。

求一张图的最小边支配集是 NP 困难的。

独立集

对于图 $G=(V, E)$，若 $V’\subseteq V$ 且 $V’$ 中任意两点都不相邻，则 $V’$ 是图 $G$ 的一个 独立集 (independent set)。

图 $G$ 最大的独立集的大小记作 $\alpha(G)$。求一张图的最大独立集是 NP 困难的。

匹配

对于图 $G=(V, E)$，若 $E’\in E$ 且 $E’$ 中任意两条不同的边都没有公共的端点，且 $E’$ 中任意一条边都不是自环，则 $E’$ 是图 $G$ 的一个 匹配 (matching)，也可以叫作 边独立集 (independent edge set)。如果一个点是匹配中某条边的一个端点，则称这个点是 被匹配的 (matched)/饱和的 (saturated)，否则称这个点是 不被匹配的 (unmatched)。

边数最多的匹配被称作一张图的 最大匹配 (maximum-cardinality matching)。图 $G$ 的最大匹配的大小记作 $\nu(G)$。

如果边带权，那么权重之和最大的匹配被称作一张图的 最大权匹配 (maximum-weight matching)。

如果一个匹配在加入任何一条边后都不再是一个匹配，那么这个匹配是一个 极大匹配 (maximal matching)。最大的极大匹配就是最大匹配，任何最大匹配都是极大匹配。极大匹配一定是边支配集，但边支配集不一定是匹配。最小极大匹配和最小边支配集大小相等，但最小边支配集不一定是匹配。求最小极大匹配是 NP 困难的。

如果在一个匹配中所有点都是被匹配的，那么这个匹配是一个 完美匹配 (perfect matching)。如果在一个匹配中只有一个点不被匹配，那么这个匹配是一个 准完美匹配 (near-perfect matching)。

求一张普通图或二分图的匹配或完美匹配个数都是 P 完全的。

对于一个匹配 $M$，若一条路径以非匹配点为起点，每相邻两条边的其中一条在匹配中而另一条不在匹配中，则这条路径被称作一条 交替路径 (alternating path)；一条在非匹配点终止的交替路径，被称作一条 增广路径 (augmenting path)。

托特定理：$n$ 阶无向图 $G$ 有完美匹配当且仅当对于任意的 $V’ \subset V(G)$，$p_{\text{奇}}(G-V’)\leq |V’|$，其中 $p_{\text{奇}}$ 表示奇数阶连通分支数。

托特定理（推论）：任何无桥 3 - 正则图都有完美匹配。