note[8]

例：\(n\) 个涂色的小球，颜色在 \(1 \sim n\) 中等概率随机，求 \(n\) 个球颜色种数的期望。

解：

感谢 Roundgod 老师的耐心指导 Orz

根据期望的线性性，可以考虑每种颜色的期望，再乘上 \(n\) \[ n\times\left(1-\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\right) \] 其中 \(\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\) 指所有球均不是这种颜色的概率

然后用 \(1\) 去减它就是「有球染成这个颜色」的概率。

把它乘上一个 \(1\) ，就是每种颜色的期望。最后把 \(n\) 种颜色的期望加起来就好啦。