竞赛图及其性质
咕咕咕…
竞赛图的定义
若有向简单图 \(G=(V,E)\) 满足任意不同两点间都有恰好一条边(单向),则称 \(G\) 为 竞赛图。
注意与 有向完全图 作区分,有向完全图是任意 \(u,v \in V\) 均有边 \(u \to v\) 和 \(v \to u\) 。而竞赛图只有其中一条。
竞赛图的性质
竞赛图不存在自环。若竞赛图存在环,则一定存在三元环。
任意竞赛图均有哈密顿路径(经过每一个点的路径 \(\langle v_1,v_2,\cdots,v_k\rangle\) 且 \(v_i \ne v_j\) )
竞赛图存在哈密顿回路当且仅当其为强连通图。
竞赛图缩点后为呈单向链状,每个点向其后所有点连边
判断竞赛图是否强连通可以将点的出度按升序排序
若不存在 \(k<n\) 使得前 \(k\) 个出度之和等于 \(\binom{k}{2}\) ,则原图强连通
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n \log n)\) 。朴素的 \(\mathtt{Tarjan}\) 做法是 \(\mathcal{O}(n^2)\) 的(因为 \(m = n^2\) )
竞赛图性质题
可以参考:
CF913F Strongly Connected Tournament 题解
参考文献:
[1] https://blog.csdn.net/weixin_45697774/article/details/108979515
[2] 《离散数学(第六版)》 屈婉玲
[3] https://juju527.github.io/post/jing-sai-tu-xue-xi-bi-ji/