洛谷P4018 Roy&October之取石子 题解

题目链接：P4018 Roy&October之取石子

题意：

Roy 和 October 两人在玩一个取石子的游戏。

游戏规则是这样的：

共有 $n$ 个石子，两人每次都只能取 $p^k$ 个，谁取走最后一个石子，谁就赢了。

（ $p$ 为质数，$k$ 为自然数，且 $p^k$ 小于等于当前剩余石子数）

现在 October 先取，问她有没有必胜策略。

若她有必胜策略，输出一行 October wins! ；否则输出一行 Roy wins! 。

输入格式：

第一行一个正整数 $T$，表示测试点组数。

第 $2$ 行 $\sim$ 第 $T+1$ 行，一行一个正整数 $n$，表示石子个数。

输出格式：

$T$ 行，每行分别为 October wins! 或 Roy wins!。

数据范围：

对于 $100\%$ 的数据，$1\leq n\leq 5\times 10^7$, $1\leq T\leq 10^5$。

结论：当石子数 $n$ 不为 $6$ 的倍数时，先手必胜，否则先手必输。

证明：

首先证明 $6$ 的倍数一定不是 $p^k$ 。

• 对于 $2$ ，因为 $6$ 的倍数一定含因子 $3$ ，所以 $6$ 的倍数不是 $2^k$ 。

• 对于奇素数，因为奇偶性相同的两数相乘，奇偶性不变，所以 $6$ 的倍数也不是 $p^k,p\in (\mathbb{P}\setminus\{2\})$。

则若石子数 $n$ 为 $6$ 的倍数时，先手取任意一个 $p^k$ ，剩余的石子数一定不为 $6$ 的倍数。

注意到 $1,2,3,4,5$ 均为 $p^k$ 且均不为 $6$ 的倍数

因此若 $n$ 为 $6$ 的倍数，后手只要取 $x \bmod 6$ 个石子，就又转化为了 $6$ 的倍数或者直接变成 $0$ ，故先手必输。$\square$

时间复杂度 $\mathcal{O}(T)$

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
void up(int &x,int y) { x < y ? x = y : 0; }
void down(int &x,int y) { x > y ? x = y : 0; }
#define N ((int)())

signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    int Q; cin >> Q;
    for(int n; Q--; )
    {
        cin >> n;
        if(n % 6 == 0) cout << "Roy wins!\n";
        else cout << "October wins!\n";
    }
    return 0;
}

---

参考文献：

[1] https://www.luogu.com.cn/blog/user34635/solution-p4018