导数&不定积分 学习笔记

这是一篇整合&小总结文章。

众所周知，微分和积分是对应可逆的。所以就有了这篇文章

相关文章：导数的基本公式推导 | 不定积分基本公式

基本定义

导数是微积分学中的一个概念。函数在某一点的导数是指这个函数在这一点附近的变化率。

$$f^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

$f$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f^{\prime}(x_0)$ 或 $\frac{df}{dx}(x_0)$ 或 $\left.\frac{df}{dx}\right|_{x=x_0}$ 。

不定积分是所有原函数的集合。也就是说，如果 $F^{\prime}(x) = f(x)$ ，则

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \tag{1}$$

其中 $C$ 为常数，原因在于 $(C)^{\prime} = 0$。

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线性运算

导数：

$${[f(x) \pm g(x)]}^{\prime} = f^{\prime}(x) \pm g^{\prime}(x) \\[8pt][f(x)g(x)]^{\prime}=f^{\prime}(x)g(x)+f(x)g^{\prime}(x) \\[8pt]\left[\dfrac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime} = \dfrac{f^{\prime}(x)g(x)-f(x)g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^2}$$

积分：

$$\int C f(x)\,dx = C\int f(x)\,dx \\[6pt]\left(\int f(x)\,dx\right)^{\prime} = f(x) \\[6pt]\int f^{\prime}(x)\,dx = f(x) + C \\[6pt]\int \left[f(x) \pm g(x)\right] = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx$$

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基本公式

常用导数公式 $$\begin{array}{|c|c|c|c|} % ----- 标题 ----- \hline\texttt{原函数} \,f(x)& \texttt{导函数}\,f^{\prime}(x) & \texttt{原函数} \,f(x)& \texttt{导函数}\,f^{\prime}(x) % ------内容------ \\[6pt]\hline C\,(\, C \, \texttt{为常数}) & 0 & \log_ax\,(a>0\land a \ne 1) & \frac{1}{x\ln a} \\[6pt]\hline x^a\,(a\in \mathbb{R}) & ax^{a-1} & \ln x & \frac{1}{x} \\[6pt]\hline \sin x & \cos x & \arcsin x & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[6pt]\hline \cos x & -\sin x & \arccos x & \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\[6pt]\hline a^x (a>0\land a \ne 1) & a^x\ln a & \arctan & \frac{1}{1 + x ^ 2} \\[6pt]\hline e^x & e^x & \arccos & -\frac{1}{1 + x ^ 2} \\[6pt]\hline \end{array}$$

常用不定积分公式 $$\begin{array}{|c|c|} \hline \texttt{积分}\,\int f(x) \,\mathrm{d} x & \texttt{原函数}\, F(x) & \texttt{积分}\,\int f(x) \,\mathrm{d} x & \texttt{原函数}\, F(x) \\[8pt]\hline \int 0 \,\mathrm{d}x & C & \int x^n \,\mathrm{d} x(n \ne -1) & \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \\[8pt]\hline \int \sin x\,\mathrm{d}x & -\cos x + C & \int \cos x \,\mathrm{d}x & \sin x + C \\[8pt]\hline \int a^x \,\mathrm{d}x & \frac{a^x}{\ln a} + C & \int e^x \,\mathrm{d}x & e^x + C \\[8pt]\hline \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x & \ln |x| + C & & \\[8pt]\hline \end{array}$$

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链式法则

复合函数求导

$$\left[f(g(h(x)))\right] = f^{\prime}(g(h(x)) \cdot g^{\prime}(h(x)) \cdot h^{\prime}(x)$$

例：求函数 $f(x)=e^{\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)}$ 的导数。

解：

$$\begin{aligned} f^{\prime}(x) &=e^{\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)}\left[\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)\right]^{\prime} \\[6pt]&=e^{\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)} \cdot \cos \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right) \cdot\left[\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right]^{\prime} \\[6pt]&=e^{\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)} \cdot \cos \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right) \cdot \frac{1}{3 x^2-2 x+1} \cdot\left(3 x^2-2 x+1\right)^{\prime} \\[6pt]&=e^{\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)} \cdot \cos \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right) \cdot \frac{1}{3 x^2-2 x+1} \cdot(6 x-2) \\[6pt]&=e^{\sin \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right)} \cdot \cos \left(\ln \left(3 x^2-2 x+1\right)\right) \cdot \frac{6 x-2}{3 x^2-2 x+1} \end{aligned}$$

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反函数求导

记 $f(x)$ 的反函数为 $f^{-1}(x)$ ，$f^{-1}(x)$ 的导数可以记作 $[f^{-1}(x)]^{\prime}$ 或 $[f^{-1}]^{\prime}(x)$

$$[f^{-1}(x)]^{\prime} = \frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}$$

例：求 $y=\arcsin x$ 的导数。

解：

尽量不要使用 $\sin^{-1} x$ 表示 $\arcsin x$ ，因为可能会和 $\frac{1}{\sin x}$ 混淆。

由 $(\sin x)^{\prime} = \cos x$ 得

$$[f^{-1}(x)]^{\prime} = \frac{1}{f^{\prime}(y)} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\cos(\arcsin x)}$$

因为 $\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x}$ ，所以

$$[f^{-1}(x)]^{\prime} =\frac{1}{\cos(\arcsin x)} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin ^2\left(\arcsin x\right)}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

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对数求导法

对于某些较复杂的函数 $y = f(x)$ ，我们可以用以下方法快速计算其导数

1. 先算出 $(\ln y)^{\prime} = u$
2. 变形得 $\frac{1}{y} \cdot y^{\prime} = u$
3. 移项得 $y^{\prime} = y\cdot u$

例：求 $f(x)=\dfrac{\sqrt[3]{3 x^2-5} \sqrt[5]{2 x+7}}{\sqrt[4]{x+3} \sqrt{x^2-2 x-1}}$ 的导数

解：

设 $y = f(x)$ ，则

$$\ln y = \frac{1}{3} \ln \left(3 x^2-5\right)+\frac{1}{5} \ln (2 x+7)-\frac{1}{4} \ln (x+3)-\frac{1}{2} \ln \left(x^2-2 x-1\right)$$

变形&展开

$$\begin{aligned} \frac{1}{y} y^{\prime} &=\frac{1}{3} \cdot \frac{6 x}{3 x^2-5}+\frac{1}{5} \cdot \frac{2}{2 x+7}-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x+3}-\frac{1}{2} \cdot \frac{2 x-2}{x^2-2 x-1} \\[6pt]\frac{1}{y} y^{\prime}&=\frac{2 x}{3 x^2-5}+\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 x+7}-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x+3}-\frac{x-1}{x^2-2 x-1} \\[6pt]y^{\prime}&=\frac{\sqrt[3]{3 x^2-5} \sqrt[5]{2 x+7}}{\sqrt[4]{x+3} \sqrt{x^2-2 x-1}}\left(\frac{2 x}{3 x^2-5}+\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{2 x+7}-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{x+3}-\frac{x-1}{x^2-2 x-1}\right) \end{aligned}$$

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参考文献：

[1] 对数求导法 四都教育

[2] 反函数的求导法则 四都教育

[3] 复合函数的导数（链式法则） 四都教育