泰勒级数&麦克劳林级数
在数学上，对于一个在实数或复数 \(a\) 邻域上，以实数或复数作为变量的函数，
并且是无穷可微的函数 \(f(x)\) ，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数： \[ \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \] 当 \(a=0\) 时，可以称这个级数为麦克劳林级数。即 \[ \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]
对于 \(e^x,\sin x\) 这种函数，如果我们想求它的较精确近似值，可以考虑麦克劳林级数。
常用麦克劳林级数
当变量 \(x\) 是复数时，这些等式依然成立。
几何级数：
\(\forall x : |x| < 1\) \[ \dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1+x+x^2 + \cdots + x^n + \cdots \] 拓展：
\(\forall x : |x| < 1,~ k \in
\mathbb{Z}^{+}\) \[
\dfrac{1}{(1-x)^k} = \sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k-1} x^n =
1+\dbinom{k}{k-1}x+\dbinom{k+1}{k-1}x^2 + \cdots +
\dbinom{n+k-1}{k-1}x^n + \cdots
\]
二项式级数：
\(r \in \mathbb{C},~\forall x : |x| <
1\) \[
(1+x)^{r} = \sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{r}{n}x^n
= 1+r x+\frac{r(r-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{r(r-1) \cdots(r-n+1)}{n !}
x^n+\cdots
\]
以 \(e\) 为底的指数函数：
\(\forall x\) （任意 \(x\) 均成立） \[
e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \cdots
+ \frac{x^n}{n!} + \cdots
\]
自然对数： \[
\begin{aligned}
&\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^n}{n}-\cdots
&\forall x \in[-1,1)\\
&\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n+\cdots
&\forall x \in(-1,1]
\end{aligned}
\]
三角函数：
\(B_k\) 为伯努利数，\(E_k\) 为欧拉数 \[ \begin{aligned} \sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}+\cdots&& \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \forall x:|x| \le 1,\ x\neq\pm i \end{aligned} \] 还有双曲函数啥的有空再说吧（（
参考文献：
