泰勒级数&麦克劳林级数

在数学上，对于一个在实数或复数 $a$ 邻域上，以实数或复数作为变量的函数，

并且是无穷可微的函数 $f(x)$ ，它的泰勒级数是以下这种形式的幂级数：

$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$

当 $a=0$ 时，可以称这个级数为麦克劳林级数。即

$$\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$

对于 $e^x,\sin x$ 这种函数，如果我们想求它的较精确近似值，可以考虑麦克劳林级数。

常用麦克劳林级数

当变量 $x$ 是复数时，这些等式依然成立。

几何级数：

$\forall x : |x| < 1$

$$\dfrac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n = 1+x+x^2 + \cdots + x^n + \cdots$$

拓展：

$\forall x : |x| < 1,~ k \in \mathbb{Z}^{+}$

$$\dfrac{1}{(1-x)^k} = \sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{n+k-1}{k-1} x^n = 1+\dbinom{k}{k-1}x+\dbinom{k+1}{k-1}x^2 + \cdots + \dbinom{n+k-1}{k-1}x^n + \cdots$$

二项式级数：

$r \in \mathbb{C},~\forall x : |x| < 1$

$$(1+x)^{r} = \sum_{n=0}^{\infty}\dbinom{r}{n}x^n = 1+r x+\frac{r(r-1)}{2 !} x^2+\cdots+\frac{r(r-1) \cdots(r-n+1)}{n !} x^n+\cdots$$

以 $e$ 为底的指数函数：

$\forall x$ （任意 $x$ 均成立）

$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!}+ \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots$$

自然对数：

$$\begin{aligned} &\ln (1-x)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots-\frac{x^n}{n}-\cdots &\forall x \in[-1,1)\\ &\ln (1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+\frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n+\cdots &\forall x \in(-1,1] \end{aligned}$$

三角函数：

$B_k$ 为伯努利数，$E_k$ 为欧拉数

$$\begin{aligned} \sin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} &&= x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \cos x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} &&= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots && \forall x\\[6pt] \tan x &= \sum^{\infty}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n \left(1-4^n\right)}{(2n)!} x^{2n-1} &&= x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \cdots && \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \sec x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n} &&=1+\frac{x^2}{2}+\frac{5x^4}{24}+\cdots && \forall x:|x| < \frac{\pi}{2}\\[6pt] \arcsin x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} &&=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\cdots && \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arccos x &=\frac{\pi}{2}-\arcsin x\\&=\frac{\pi}{2}- \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}&&=\frac{\pi}{2}-x-\frac{x^3}{6}-\frac{3x^5}{40}+\cdots&& \forall x:|x| \le 1\\[6pt] \arctan x &= \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} &&=x-\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5}-\cdots && \forall x:|x| \le 1,\ x\neq\pm i \end{aligned}$$

还有双曲函数啥的有空再说吧（（

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参考文献：

[1] https://zhuanlan.zhihu.com/p/93996275

[2] https://www.cnblogs.com/hongzy/p/9343739.html