note[4]

例：解方程

$$x^4 - 2x^3 +x^2 - 15 = 0$$

解：

令 $y=x-\dfrac{1}{2}$ ，则

$$-15 + \left(y + \dfrac{1}{2}\right)^2 - 2\left(y+\dfrac{1}{2}\right)^3 + \left(y + \dfrac{1}{2}\right)^4 = 0$$

目的在于构造无奇次项的多项式。

构造方式如下：

设 $y = x + a$

然后代入原式，找到 $y^3$ 的系数，这题是 $-4a-2$

故令 $-4a-2=0$ 解得 $a = -\dfrac{1}{2}$

全部展开并整理得到

$$y^4 - \dfrac{y^2}{2} - \dfrac{239}{16} = 0$$

令 $z = y^2$ ，则

$$z^2 - \dfrac{z}{2} - \dfrac{239}{16} = 0$$

解得

$$z=\dfrac{1}{4} + \sqrt{15} \quad\mathtt{or}\quad z=\dfrac{1}{4} - \sqrt{15}$$

则

$$y = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \sqrt{15}}\quad\mathtt{or}\quad y=-\sqrt{\dfrac{1}{4} + \sqrt{15}}\quad\mathtt{or}\quad z=\dfrac{1}{4} - \sqrt{15}$$ $$x = \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{1}{4} + \sqrt{15}}\quad\mathtt{or}\quad x= \dfrac{1}{2} -\sqrt{\dfrac{1}{4} + \sqrt{15}}\quad\mathtt{or}\quad z=\dfrac{1}{4} - \sqrt{15}$$

同理，可以解出 $x$ 的共轭复根。整理得

$$\begin{aligned} x_1 &= \dfrac{1}{2} + \sqrt{\dfrac{1}{4} + \sqrt{15}} \\x_2&= \dfrac{1}{2} - \sqrt{\dfrac{1}{4} + \sqrt{15}} \\x_3&= \dfrac{1}{2} + i\sqrt{-\dfrac{1}{4}+\sqrt{15}} \\x_4&= \dfrac{1}{2} - i\sqrt{-\dfrac{1}{4}+\sqrt{15}} \end{aligned}$$

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参考文献：

[1] https://www.wolframalpha.com/input?i=x%5E4+-+2x%5E3+%2Bx%5E2+-+15+%3D+0