note[2]

sum((n-i)*i,{i,1,n})/(1/2*n*(n-1)) (*ans = (n + 1)/3*)
Limit[1/(n-1)*(n+1)/3,n->+∞] (*ans = 1/3*)

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例：单位线段上随机选两个点，两点距离的期望？

选自某年的初赛题。

解：

据说这个思路是从分布律的角度出发的。

不急，我们先证明几个小结论。

引理1：对于 $n \in \mathbb{N}$ ，有

$$\sum_{i=1}^{n} i (n-i) = \frac{1}{6}n(n-1)(n+1) = \frac{n^3}{6} - \frac{n}{6}$$

证明：根据note1的思路拆项套公式易得。$\square$

引理2：对于 $n \in \mathbb{N}$ ，有

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}i(n-i)}{\frac{1}{2} n(n-1)} = \frac{n+1}{3}$$

证明：根据引理1计算可得。$\square$

现在来考虑这道题。

把线段看作 $n$ 个点，则相邻两点的距离为 $\frac{1}{n-1}$ 。

那么期望的长度就是「区间长度」乘以「区间数量」除以「所有区间数量」

即

$$\begin{aligned} E_0 &= \frac{1}{n-1} \times \frac{\sum_{i=1}^{n}i(n-i)}{\binom{n}{2}} \\ &= \frac{1}{n-1} \times \frac{n+1}{3} \\ &= \frac{n+1}{3(n-1)} \end{aligned}$$

因此原题目的答案为

$$\begin{aligned} E &= \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n+1}{3(n-1)} \\&=\frac{1}{3}\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n-1} \\&=\frac{1}{3}\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}} \\&=\frac{1}{3} \times 1 \\&=\frac{1}{3} \end{aligned}$$

综上，答案为 $\frac{1}{3}$ 。