note[2]
sum((n-i)*i,{i,1,n})/(1/2*n*(n-1)) (*ans = (n + 1)/3*)
Limit[1/(n-1)*(n+1)/3,n->+∞] (*ans = 1/3*)
例:单位线段上随机选两个点,两点距离的期望?
选自某年的初赛题。
解:
据说这个思路是从分布律的角度出发的。
不急,我们先证明几个小结论。
引理1:对于 \(n \in \mathbb{N}\) ,有 \[ \sum_{i=1}^{n} i (n-i) = \frac{1}{6}n(n-1)(n+1) = \frac{n^3}{6} - \frac{n}{6} \] 证明:根据note1的思路拆项套公式易得。\(\square\)
引理2:对于 \(n \in \mathbb{N}\) ,有 \[ \frac{\sum_{i=1}^{n}i(n-i)}{\frac{1}{2} n(n-1)} = \frac{n+1}{3} \] 证明:根据引理1计算可得。\(\square\)
现在来考虑这道题。
把线段看作 \(n\) 个点,则相邻两点的距离为 \(\frac{1}{n-1}\) 。
那么期望的长度就是「区间长度」乘以「区间数量」除以「所有区间数量」
即 \[ \begin{aligned} E_0 &= \frac{1}{n-1} \times \frac{\sum_{i=1}^{n}i(n-i)}{\binom{n}{2}} \\ &= \frac{1}{n-1} \times \frac{n+1}{3} \\ &= \frac{n+1}{3(n-1)} \end{aligned} \] 因此原题目的答案为 \[ \begin{aligned} E &= \lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n+1}{3(n-1)} \\&=\frac{1}{3}\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{n+1}{n-1} \\&=\frac{1}{3}\lim\limits_{n \to +\infty}\frac{1+\frac{1}{n}}{1-\frac{1}{n}} \\&=\frac{1}{3} \times 1 \\&=\frac{1}{3} \end{aligned} \]
综上,答案为 \(\frac{1}{3}\) 。