note[1]

simplify Sum[(n-i+1)*i,{i,1,n}]

第一次写这个类型的文章。主要记录平时看到的数学小知识

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例：化简下列式子 link

$$\sum_{i=1}^{n} (n-i+1)\times i$$

解：

$$\begin{aligned} &\quad\sum_{i=1}^{n} (n-i+1)\times i \\&=\sum_{i=1}^{n} ni - \sum_{i=1}^{n}i^2 + \sum_{i=1}^{n}i \\&=\frac{n^2(n+1)}{2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \\&=\frac{(3n+3-2n-1)\times n(n+1)}{6} \\&=\frac{1}{6}n(n+1)(n+2) \end{aligned}$$

注：用到了以下常用公式

$$\sum\limits_{i=1}^{n}i = \dfrac{n(n+1)}{2} \\\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$