不定积分基本公式

别问我为什么有导数的基本公式推导

却没有这个不定积分基本公式的推导和证明

因为我现在（20220902）不会证明（逃

等系统地学习以后再修补错误吧

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不定积分的定义与性质

不定积分是所有原函数的集合。也就是说，如果 $F^{\prime}(x) = f(x)$ ，则

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C \tag{1}$$

其中 $C$ 为常数。

不定积分的性质如下：

$$\int C f(x)\,dx = C\int f(x)\,dx\tag{1}$$ $$\left(\int f(x)\,dx\right)^{\prime} = f(x)\tag{2}$$ $$\int f^{\prime}(x)\,dx = f(x) + C \tag{3}$$ $$\int \left[f(x) \pm g(x)\right] = \int f(x)\,dx \pm \int g(x)\,dx\tag{4}$$

不定积分基本公式

对应着导数的基本公式，可以得到不定积分的基本公式

$$\int 0 \,dx = C\tag{1}$$ $$\int x^n \,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad(n \ne -1)\tag{2}$$

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$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C \tag{3}$$ $$\int \cos x \,dx = \sin x + C\tag{4}$$

拓展：

$$\int \sin kx\,dx = -\dfrac{\cos kx}{k} + C$$ $$\int \cos kx \,dx = \dfrac{\sin kx}{k} + C\tag{4}$$

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$$\int \sec^{x}\,dx = \tan x + C \tag{5}$$ $$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C \tag{6}$$ $$\int e^x \, dx = e^x + C \tag{7}$$ $$\int a^x \,dx =\dfrac{a^x}{\ln a} + C \tag{8}$$ $$\int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C \tag{9}$$

注：$(9)$的绝对值其实对应了下面两种情况

$$\begin{cases} \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \,dx = \ln x , &x > 0 \\\displaystyle \int \dfrac{1}{x} \,dx = \int \dfrac{-1}{-x}\,dx = \ln (-x), &x<0 \end{cases}$$ $$\int \tan x \sec x \, dx = \sec x + C \tag{10}$$ $$\int \cot x \csc x \, dx = -\csc x + C \tag{11}$$ $$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \,dx = \arcsin x + C = -\arccos x +C \tag{12}$$ $$\int \dfrac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan x + C = -\text{arccot } x + C \tag{13}$$

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参考文献：

[1] 《托马斯微积分》

[2] 不定积分基本公式 四都教育