洛谷P2047 [NOI2007] 社交网络 题解
题目链接:P2047 [NOI2007] 社交网络
题意:
在社交网络 ( Social Network ) 的研究中,我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题:
在一个社交圈子里有 \(n\) 个人,人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个 \(n\) 个结点的无向图上,两个不同的人若互相认识,则在他们对应的结点之间连接一条无向边,并附上一个正数权值 \(c\) ,\(c\) 越小,表示两个人之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人 \(s\) 和 \(t\) 之间的关系密切程度,注意到最短路径上的其他结点为 \(s\) 和 \(t\) 的联系提供了某种便利,即这些结点对于 \(s\) 和 \(t\) 之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点 \(v\) 的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点 \(A\) 和 \(B\) 之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下:令 \(C_{s,t}\) 表示从s到t的不同的最短路的数目,\(C_{s,t}(v)\) 表示经过 \(v\) 从 \(s\) 到 \(t\) 的最短路的数目;则定义: \[ I(v)=\sum_{s \ne v,t\ne v} \frac{C_{s,t}(v)}{C_{s,t}} \] 为结点 \(v\) 在社交网络中的重要程度。为了使 \(I(v)\) 和 \(C_{s,t}(v)\) 有意义,我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图,即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图,请你求出每一个结点的重要程度。
输入格式:
输入第一行有两个整数 \(n\) 和 \(m\) ,表示社交网络中结点和无向边的数目。
在无向图中,我们将所有结点从 \(1\) 到 \(n\) 进行编号。
接下来 \(m\) 行,每行用三个整数 \(a , b , c\) 描述一条连接结点 \(a\) 和 \(b\) ,权值为 \(c\) 的无向边。 注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连,无向图中也不会出现自环(即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点)。
输出格式:
输出包括 \(n\) 行,每行一个实数,精确到小数点后 \(3\) 位。第 \(i\) 行的实数表示结点 \(i\) 在社交网络中的重要程度。
数据范围:
对于 \(100\%\) 的数据, \(n \le 100 , m \le 4500\) ,任意一条边的权值 \(c\) 是正整数且 \(1 \le c \le 1000\) 。
所有数据中保证给出的无向图连通,且任意两个结点之间的最短路径数目不超过 \(10^{10}\)。
好久没见过这么水的题目了
显然用Floyd,只要在过程中记录下方案数就好了
最后更新的时候要注意,如果自己到自己是不合法的,不能算进去
也就是 \(I(v)=\sum\limits_{s \ne v,t\ne v} \frac{C_{s,t}(v)}{C_{s,t}}\) ,这里要求了 \(s\ne v,t\ne v\) ,不要搞错了
时间复杂度 \(O(n^3)\)
代码:
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdarg>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <random>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N ((int)(215))
int n,m;
double imp[N];
int f[N][N],g[N][N];
void down(int &x,int y){ x > y ? x = y : 0;}
void Floyd()
{
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(f[i][j] == f[i][k] + f[k][j])
g[i][j] += g[i][k] * g[k][j];
if(f[i][j] > f[i][k] + f[k][j])
{
f[i][j] = f[i][k] + f[k][j];
g[i][j] = g[i][k] * g[k][j];
}
}
int tmp=0;
for(int k=1; k<=n; k++)
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=n; j++)
{
if(!(i!=j && i!=k && j!=k)) continue;
tmp=0;
if(f[i][j] == f[i][k] + f[k][j])
tmp = g[i][k] * g[k][j];
imp[k] += 1.0*tmp/g[i][j];
}
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0);
cin.tie(0);cout.tie(0);
// freopen("check.in","r",stdin);
// freopen("check.out","w",stdout);
memset(f,0x3f,sizeof(f));
cin >> n >> m;
for(int i=1,u,v,w; i<=m; i++)
{
cin >> u >> v >> w;
down(f[u][v],w); down(f[v][u],w);
g[u][v] = g[v][u] = 1;
}
Floyd();
cout << fixed << setprecision(3);
for(int i=1; i<=n; i++)
cout << imp[i] << '\n';
return 0;
}