洛谷P2047 [NOI2007] 社交网络 题解

题目链接：P2047 [NOI2007] 社交网络

题意：

在社交网络 ( Social Network ) 的研究中，我们常常使用图论概念去解释一些社会现象。不妨看这样的一个问题:

在一个社交圈子里有 $n$ 个人，人与人之间有不同程度的关系。我们将这个关系网络对应到一个 $n$ 个结点的无向图上，两个不同的人若互相认识，则在他们对应的结点之间连接一条无向边，并附上一个正数权值 $c$ ，$c$ 越小，表示两个人之间的关系越密切。我们可以用对应结点之间的最短路长度来衡量两个人 $s$ 和 $t$ 之间的关系密切程度，注意到最短路径上的其他结点为 $s$ 和 $t$ 的联系提供了某种便利，即这些结点对于 $s$ 和 $t$ 之间的联系有一定的重要程度。我们可以通过统计经过一个结点 $v$ 的最短路径的数目来衡量该结点在社交网络中的重要程度。考虑到两个结点 $A$ 和 $B$ 之间可能会有多条最短路径。我们修改重要程度的定义如下：令 $C_{s,t}$ 表示从s到t的不同的最短路的数目，$C_{s,t}(v)$ 表示经过 $v$ 从 $s$ 到 $t$ 的最短路的数目；则定义：

$$I(v)=\sum_{s \ne v,t\ne v} \frac{C_{s,t}(v)}{C_{s,t}}$$

为结点 $v$ 在社交网络中的重要程度。为了使 $I(v)$ 和 $C_{s,t}(v)$ 有意义，我们规定需要处理的社交网络都是连通的无向图，即任意两个结点之间都有一条有限长度的最短路径。现在给出这样一幅描述社交网络的加权无向图，请你求出每一个结点的重要程度。

输入格式：

输入第一行有两个整数 $n$ 和 $m$ ，表示社交网络中结点和无向边的数目。

在无向图中，我们将所有结点从 $1$ 到 $n$ 进行编号。

接下来 $m$ 行，每行用三个整数 $a , b , c$ 描述一条连接结点 $a$ 和 $b$ ，权值为 $c$ 的无向边。
注意任意两个结点之间最多有一条无向边相连，无向图中也不会出现自环（即不存在一条无向边的两个端点是相同的结点）。

输出格式：

输出包括 $n$ 行，每行一个实数，精确到小数点后 $3$ 位。第 $i$ 行的实数表示结点 $i$ 在社交网络中的重要程度。

数据范围：

对于 $100\%$ 的数据， $n \le 100 , m \le 4500$ ，任意一条边的权值 $c$ 是正整数且 $1 \le c \le 1000$ 。

所有数据中保证给出的无向图连通，且任意两个结点之间的最短路径数目不超过 $10^{10}$。

好久没见过这么水的题目了

显然用Floyd，只要在过程中记录下方案数就好了

最后更新的时候要注意，如果自己到自己是不合法的，不能算进去

也就是 $I(v)=\sum\limits_{s \ne v,t\ne v} \frac{C_{s,t}(v)}{C_{s,t}}$ ，这里要求了 $s\ne v,t\ne v$ ，不要搞错了

时间复杂度 $O(n^3)$

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdarg>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <random>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N ((int)(215))

int n,m;
double imp[N];
int f[N][N],g[N][N];
void down(int &x,int y){ x > y ? x = y : 0;}
void Floyd()
{
    for(int k=1; k<=n; k++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(f[i][j] == f[i][k] + f[k][j])
                    g[i][j] += g[i][k] * g[k][j];
                if(f[i][j] > f[i][k] + f[k][j])
                {
                    f[i][j] = f[i][k] + f[k][j];
                    g[i][j] = g[i][k] * g[k][j];
                }
            }
    int tmp=0;
    for(int k=1; k<=n; k++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                if(!(i!=j && i!=k && j!=k)) continue;
                tmp=0;
                if(f[i][j] == f[i][k] + f[k][j])
                    tmp = g[i][k] * g[k][j];
                imp[k] += 1.0*tmp/g[i][j];
            }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    cin >> n >> m;
    for(int i=1,u,v,w; i<=m; i++)
    {
        cin >> u >> v >> w;
        down(f[u][v],w); down(f[v][u],w);
        g[u][v] = g[v][u] = 1;
    }
    Floyd();
    cout << fixed << setprecision(3);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cout << imp[i] << '\n';
    return 0;
}