OI数学总结-其他

本文充满了从各种地方偷学来的东西以及没什么分类的东西

数值积分

定积分

简单来说，函数 $f(x)$ 在区间 $[l,r]$ 上的定积分 $\int_{l}^{r}f(x)\mathrm{d}x$ 指的是 $f(x)$ 在区间 $[l,r]$ 中于 $x$ 轴围成的区域的面积（其中 $x$ 轴上方的部分为正值， $x$ 轴下方的部分为负值）

辛普森法

辛普森公式

对于一个二次函数 $f(x) = Ax^2 + Bx + C$ ，有

$$\int_l^rf(x)\mathrm{d}x = \dfrac{(r-l)\left(f(l)+f(r)+4f\left(\frac{l+r}{2}\right)\right)}{6}$$

推导过程： 对于一个二次函数 $f(x)=Ax^2+Bx+C$ ； 求积分可得 $F(x)=\int_0^x f(x) {\mathrm d}x = \frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+D$ 在这里 D 是一个常数，那么

$$\begin{aligned} \int_l^r f(x) {\mathrm d}x &= F(r)-F(l) \\ &= \frac{a}{3}(r^3-l^3)+\frac{b}{2}(r^2-l^2)+c(r-l) \\ &=(r-l)\left(\frac{a}{3}(l^2+r^2+lr)+\frac{b}{2}(l+r)+c\right) \\ &=\frac{r-l}{6}(2al^2+2ar^2+2alr+3bl+3br+6c)\\ &=\frac{r-l}{6}((al^2+bl+c)+(ar^2+br+c)+4\left(a\left(\frac{l+r}{2}\right)^2+b\left(\frac{l+r}{2}\right)+c)\right) \\ &=\frac{r-l}{6}\left(f(l)+f(r)+4f\left(\frac{l+r}{2}\right)\right) \end{aligned}$$

普通辛普森法

咕咕咕…

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洛必达法则

设 $c \in \overline{\mathbb{R}}$（扩展实数） ，两函数 $f(x),g(x)$ 在 $x=c$ 为端点的开区间可微，

$\lim\limits_{x \to c}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)} \in \overline{\mathbb{R}}$ ，并且 $g^{\prime}(x) \ne 0$ 。

如果 $\lim\limits_{x \to c}f(x) = \lim\limits_{x \to c} g(x) = 0$ 或 $\lim\limits_{x \to c}|f(x)| = \lim\limits_{x \to c} |g(x)| = \infty$ 其中一者成立，

则称欲求的极限 $\lim\limits_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)}$ 为未定式。

此时洛必达法则表明

$$\lim_{x \to c}\dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c}\dfrac{f^{\prime}(x)}{g^{\prime}(x)}$$

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取整函数

向下取整floor(x) $ = [x] = \lfloor x \rfloor $

向上取整 ceil(x) $=\lceil x \rceil$

小数部分 $\left\{x\right\} = x-\left\lfloor{x}\right\rfloor$

部分性质

1. $\left\lfloor{x}\right\rfloor \le x < \left\lfloor{x}\right\rfloor+1$ 当且仅当 $x$ 为正整数时取等号

2. $\left\lfloor{k+x}\right\rfloor = k+\left\lfloor{x}\right\rfloor,k\in \mathbb{Z},x\in \mathbb{R}$

3. $\left\lfloor{x}\right\rfloor \le \left\lceil{x}\right\rceil$

4. 四舍五入 = floor(x+0.5)

5. $$\begin{aligned} &\left\lceil{x}\right\rceil- \left\lfloor{x}\right\rfloor=\begin{cases} 0,&\mbox{if } x \in \mathbb{Z},\\\\ 1,&\mbox{if }x \notin \mathbb{Z}. \end{cases}\\\\ &\left\lfloor{x}\right\rfloor+ \left\lfloor{-x}\right\rfloor=\begin{cases} 0,&\mbox{if } x \in \mathbb{Z},\\\\ -1,&\mbox{if }x \notin \mathbb{Z}. \end{cases}\\\\ &\left\lceil{x}\right\rceil+ \left\lceil{-x}\right\rceil=\begin{cases} 0,&\mbox{if } x \in \mathbb{Z},\\\\ 1,&\mbox{if }x \notin \mathbb{Z}. \end{cases}\\\\ &\{x\}+\{-x\}=\begin{cases} 0,&\mbox{if } x \in \mathbb{Z},\\\\ 1,&\mbox{if }x \notin \mathbb{Z}. \end{cases} \end{aligned}$$

6. $\left\lceil{x}\right\rceil = - \left\lfloor{-x}\right\rfloor$

7. $$\begin{aligned} &\left\lceil\left\lceil{x}\right\rceil\right\rceil=\left\lceil{x}\right\rceil\\\\ &\left\lfloor\left\lfloor{x}\right\rfloor\right\rfloor=\left\lfloor{x}\right\rfloor \\\\ &\left\{\left\{x\right\}\right\}=\left\{x\right\} \end{aligned}$$

8. 多种嵌套相当于只看最内层的

$$\begin{aligned} &\left\lfloor{\left\lceil{x}\right\rceil}\right\rfloor=\left\lceil{x}\right\rceil \\ &\left\lceil{\left\lfloor{x}\right\rfloor}\right\rceil=\left\lfloor{x}\right\rfloor \end{aligned}$$

1. 若 $n$ 为正整数

$$\begin{aligned} n&=\left\lceil{\dfrac{n}{m}}\right\rceil+\left\lceil{\dfrac{n-1}{m}}\right\rceil+\cdots + \left\lceil{\dfrac{n-m+1}{m}}\right\rceil \\ n&=\left\lfloor{\dfrac{n}{m}}\right\rfloor+\left\lfloor{\dfrac{n+1}{m}}\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor{\dfrac{n+m-1}{m}}\right\rfloor \end{aligned}$$

​ 将 $m=2$ 代入可得

$$n=\left\lfloor{\dfrac{n}{2}}\right\rfloor+\left\lceil{\dfrac{n}{2}}\right\rceil$$