CF553A Kyoya and Colored Balls 题解

题意：

一个袋子中有 $n$ 个彩球，他们用 $k$ 种不同的颜色染色。颜色被从 $1$ 到 $k$ 编号。同一种颜色的球看成是一样的。现在从袋中一个一个的拿出球来，直到拿完所有的球。对于所有颜色为 $i(1 \le i \le k-1)$ 的球，他的最后一个球总是在编号比他大的球拿完之前拿完，问这样情况有多少种，答案对 $10^9+7$ 取模。

输入单组测试数据。第一行给出一个整数 $k(1 \le k \le 1000)$ ，表示球的种类。接下来 $k$ 行，每行一个整数 $c_i$ ，表示第 $i$ 种颜色的球有 $c_i$ 个 $(1 \le c_i \le 1000)$ 。球的总数目不超过 $1000$ 。

~~发烧真的无聊所以就写写题目啥的吧23333~~

考虑依次插入每种颜色的球，不妨设现在要插入的球颜色为 $i$ ，有 $x_i$ 个

设 $n_i$ 为之前已经插入的球的数量，即

$n_i = \sum _{j=1}^{i-1} x_i$

对于 $i$ 的最后一个球，一定是要放在序列的最后面的

剩下的 $x_i-1$ 个球可以随便在 $n_i-1$ 个空隙里面放，每个空隙可以放多个球

或者也可以认为，把剩下的 $x_i-1$ 个球分成 $n_i-1$ 个组，每个组可以为空

显然根据插板法可知共有 $\dbinom{n_i+x_i-1}{n_i}$ 种方案

因此总的答案就是

$\prod_{i=1}^{k}\dbinom{n_i+x_i-1}{n_i}$

时间复杂度 $O(n^2)$

代码：

cpp

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <random>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(1e3+15)

const int p=1e9+7;
int n,k,res=1,C[N][N];
void mul(int &x,int y){x=x*(y%p)%p;}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    for(int i=0; i<=1000; i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1; j<=i; j++)
            C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%p;
    }
    cin >> k;
    for(int i=1,x; i<=k; i++)
    {
        cin >> x;
        mul(res,C[n+x-1][n]);
        n+=x;
    }
    cout << res << '\n';
    return 0;
}