OI数学总结-基础公式&结论

施工中，咕咕咕…

• $A(n) = 1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+\dots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$ ，积分逼近有 $A(n) = \Theta(\sqrt{n})$

• $B(n) = 1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\dots\sqrt{n}$ ，积分逼近有 $B(n) = \Theta(n\sqrt{n})$

• 调和级数求和 $C(n) = 1 + \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dots+\dfrac{1}{n}$ ，积分逼近有 $C(n) = \Theta(\ln n)$

• 著名的巴塞尔问题，证明

  $$\displaystyle \zeta(2)= \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^2} =\lim_{n \to +\infty}\left( 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^2}\right)=\frac{\pi^2}{6}$$

等差数列前缀和：$S(n) = \dfrac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \dfrac{n(n-1)}{2}d$

等比数列前缀和：$S(n) = \dfrac{a_1(1-q^n)}{1-q},q\ne 1$

一些常见的前缀和

• $\sum\limits_{i=1}^{n}i = \dfrac{n(n+1)}{2}$
• $\sum\limits_{i=1}^{n}i^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
• $\sum\limits_{i=1}^{n}i^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$

牛顿迭代法求 $a(a>0)$ 的平方根

$$x_{i+1} = \frac{1}{2} \left(x_i + \frac{a}{x_i}\right)$$

其实就是求函数 $f(x) = x^2 - a = 0$ 的零点

原理如下：

$$x_{i+1} = x_{i} - \frac{f(x_i)}{f^{\prime}(x_i)}= x_{i} - \frac{x^2_i - a}{2x_i}= \frac{1}{2} \left(x_i + \frac{a}{x_i}\right)$$

极化恒等式

$$\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = \dfrac{1}{4} \left(\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)^2-\left(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\right)^2\right)$$

向量旋转公式

oi-wiki

公式：（逆时针旋转角度 $\vartheta$ ）

$$\boldsymbol{a} = (x,y)\\\boldsymbol{b}=(x\cos \vartheta-y\sin\vartheta,x\sin\vartheta+y\cos\vartheta)$$

简记为 $\tt{xC-yS,xS+yC}$