2.3 和式的处理
一、定律
设 \(K\) 为任意一个有限整数集合，则有 \[ \begin{aligned} \sum_{k\in K}ca_k&=c\sum_{k\in K}a_k &(\texttt{分配律}) \\[6pt]\sum_{k\in K}(a_k+b_k) &= \sum_{k\in K}a_k + \sum_{k\in K}b_k &(\texttt{结合律}) \\[6pt]\sum_{k\in K}a_k&=\sum_{p(k)\in K}a_{p(k)} &(\texttt{交换律}) \end{aligned} \] 需要详细解释的是「交换律」。其中 \(p(k)\) 表示一个作用在 \(K\) 上的置换。
或者更为宽松的：对于每个 \(k\) ，有且仅有唯一的 \(p(k)\) 与之对应，且 \(p(k)\in K\) 。
例如 \[ \sum_{k\in K \land k\texttt{是偶数}} a_k = \sum_{n\in K \land n\texttt{是偶数}} a_n = \sum_{2k\in K \land 2k\texttt{是偶数}} a_{2k} = \sum_{2k\in K} a_{2k} \]
二、扰动法
本章节提到了扰动法求解未知和式的封闭形式 \[ S_n = \sum_{0 \le k\le n}a_k \] 然后通过将它的最后一项和第一项分离出来，用两种方法重新改写 \(S_{n+1}\) \[ \begin{aligned} S_{n}+a_{n+1} = \sum_{0 \le k\le n+1}a_k &= a_0+\sum_{1\le k \le n+1} a_k \\\\&=a_0+\sum_{1 \le k+1 \le n+1}a_{k+1} \\\\&=a_0+\sum_{0\le k\le n}a_{k+1} \end{aligned} \] 即 \[ S_n+a_{n+1}=a_0+\sum_{0\le k\le n}a_{k+1}\tag{1} \] 然后尝试用 \(S_n\) 将它表示出来
例子：求一般的几何级数的和 \[ S_n = \sum_{0\le k\le n}ax^k \] 由 \((1)\) 中一般的扰动法格式可得 \[ S_n + ax^{n+1} = ax^{0}+\sum_{0\le k\le n}ax^{k+1} \] 显然有 \[ S_n+ax^{n+1}=ax^0+xS_n \] 故 \[ S_n=\dfrac{a-ax^{n+1}}{1-x} \]
练习：求下列和式的封闭形式 \[ S_n = \sum_{0 \le k \le n}k2^k \] 答案： \[ S_n=(n-1)2^{n+1}+2 \]
过程
\[ S_n + a_{n+1} = a_0 + \sum_{0 \le k \le n} a_{k+1} \\\\S_n + (n+1)2^{n+1} = 2\sum_{0\le k\le n}k2^k + \sum_{0\le k\le n}2^{k+1} \\\\S_n + (n+1)2^{n+1} = 2S_n + 2^{n+2}-2 \\\\S_n = (n-1)2^{n+1}+2 \]
