洛谷P3294 [SCOI2016]背单词 题解

题目链接：P3294 [SCOI2016]背单词

题意：给定 \(n\) 个不同的字符串，求一个最优顺序使得花费最小

设当前字符串为 \(a\) ，位于排列中的 \(x\) 位置

• 如果 \(a\) 存在后缀且 \(a\) 的后缀在 \(a\) 之后，花费增加 \(n^2\)
• 如果 \(a\) 不存在后缀，则花费增加 \(x\)
• 设 \(y\) 为 \(a\) 之前与其相距最小的，且是 \(a\) 的后缀的字符串的位置（前提是 \(a\) 存在后缀），则花费增加 \(x-y\)

根据贪心，前两个条件基本上没有用

同时为了方便处理，把所有字符串反转，考虑其前缀。

原问题转化为：

设某个字符串为 \(a_i\) ，位于排列中的 \(x_i\) 位置

• \(a_i\) 所有前缀必须在 \(a_i\) 之前

• 设 \(y_i\) 为 \(a_i\) 之前与其相距最小的，且是 \(a_i\) 的前缀的字符串的位置

如果 \(a\) 不存在前缀，则 \(y_i=0\) ，记 \(v_i=x_i-y_i\)

给定 \(n\) 个字符串，求一种排列顺序，使得 \(\sum v_i\) 最小，求出这个最小值。

考虑建 \(\tt{trie}\) 树以存储字符串

然后重构整棵树，只保留「是字符串结尾的结点」，注意根节点也要保留

然后对于每个结点，将其子结点按子树大小从小到大排序

然后跑一遍dfs就好了

重构是为了方便排序子结点。

排序的原因：

设当前结点为 \(u\) ，则 \(u\) 的所有子结点都有相同的前缀

这个前缀就是根节点到 \(u\) 形成的字符串。

对于排序后在后面的子结点，想在排列中距离 \(u\) 尽可能小

就需要前面的子结点所在子树大小尽可能小，这样他们之间夹着的字符串就少

根据贪心，不难发现这样可以最小化答案

时间复杂度 \(O(L \log L)\) ，其中 \(L=\sum |s_i|\)

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <random>
using namespace std;
#define ll long long
// #define int long long
// #define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define L (int)(5.1e5+15)
bool cmp(int a,int b);
struct Trie
{
    vector<int> vec[L]; ll res;
    int tot,trie[L][26],ed[L],last[L],sz[L],cnt;
    void insert(string s)
    {
        int u=0;
        for(int i=0; i<s.size(); i++)
        {
            int c=s[i]-'a';
            if(!trie[u][c])trie[u][c]=++tot;
            u=trie[u][c];
        }
        ed[u]=1;
    }
    void rebd(int u)
    {
        if(ed[u]&&u)
        {
            vec[last[u]].push_back(u);
            last[u]=u;
        }
        for(int i=0; i<26; i++)
            if(trie[u][i])
            {
                int v=trie[u][i];
                last[v]=last[u]; rebd(v);
            }
    }
    void dfs(int u)
    {
        sz[u]=1;
        for(int i=0; i<vec[u].size(); i++)
        {
            dfs(vec[u][i]);
            sz[u]+=sz[vec[u][i]];
        }
        sort(vec[u].begin(),vec[u].end(),cmp);
    }
    void solve(int u)
    {
        int dfn=cnt++;
        for(int i=0; i<vec[u].size(); i++)
        {
            res+=cnt-dfn;
            solve(vec[u][i]);
        }
    }
    void main()
    {
        ed[0]=1; rebd(0);
        dfs(0); solve(0);
        cout << res << '\n';
    }
}tr;
bool cmp(int a,int b){return tr.sz[a]<tr.sz[b];}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    int n; string s;
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> s;
        reverse(s.begin(),s.end());
        tr.insert(s);
    }
    tr.main();
    return 0;
}