洛谷P3435 [POI2006] OKR-Periods of Words 题解

题目链接：P3435 [POI2006] OKR-Periods of Words

题意：

对于一个仅含小写字母的字符串 $a$，$p$ 为 $a$ 的前缀且 $p\ne a$，那么我们称 $p$ 为 $a$ 的 proper 前缀。

规定字符串 $Q$（可以是空串）表示 $a$ 的周期，当且仅当 $Q$ 是 $a$ 的 proper 前缀且 $a$ 是 $Q+Q$ 的前缀。

例如 ab 是 abab 的一个周期，因为 ab 是 abab 的 proper 前缀，且 abab 是 ab+ab 的前缀。

求给定字符串所有前缀的最大周期长度之和。

$1\le |a| \le 10^6$

考虑如何最大化周期 $Q$

对于某个前缀，例如 $s = \tt{aabaaaab}$

不难发现它的最长周期就是 $\tt{aabaa}$

仔细观察 $\tt{\color{red}{aab}\color{blue}{aa}\color{red}{aab}}$

其实这个 $Q = \tt{\color{red}{aab}\color{blue}{aa}}$

就是 $s$ 的最短非空border $\tt{\color{red}{aab}}$ 加上中间那一段东西

这样对于每个 $i$ ，我们只要找到它的最短border就好了

这个东西可以通过跳fail数组实现

但是如果每次都暴力跳，显然会有很多重复步骤

这个跳的过程，是不是很熟悉？并查集也是这么跳的对吧！

并查集可以路径压缩，这里fail数组我们也可以路径压缩。

时间复杂度 $O(n)$

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <random>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(1e6+15)

char s[N];
int n,res,fail[N];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n >> (s+1);
    for(int i=2,j=0; i<=n; i++)
    {
        while(j&&s[i]!=s[j+1])j=fail[j];
        if(s[i]==s[j+1])++j;
        fail[i]=j;
    }
    for(int i=1,j; i<=n; i++)
    {
        j=i;
        while(fail[j]) j=fail[j];
        if(fail[i]!=0) fail[i]=j;
        res+=(i-j);
    }
    cout << res << '\n';
    return 0;
}