洛谷P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏 题解

题目链接：P1005 [NOIP2007 提高组] 矩阵取数游戏

题意：

帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 $n \times m$ 的矩阵，矩阵中的每个元素 $a_{i,j}$ 均为非负整数。游戏规则如下：

1. 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 $n$ 个。经过 $m$ 次后取完矩阵内所有元素；
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
3. 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值 $\times 2^i$，其中 $i$ 表示第 $i$ 次取数（从 $1$ 开始编号）；
4. 游戏结束总得分为 $m$ 次取数得分之和。

帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。

对于 $60\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 30$，答案不超过 $10^{16}$。
对于 $100\%$ 的数据，满足 $1\le n,m\le 80$，$0\le a_{i,j}\le1000$。

注意到每一行的决策与其他行无关

考虑区间dp然后把 $n$ 行答案加起来

设 $f_{i,j}$ 表示区间变为 $[i,j]$ 时的最大分数

不难发现

$$f_{i,i}=\max\left\{f_{i,i}+a_i\times 2^m\right\} \\f_{i,j}=\max\left\{f_{i-1,j}+a_{i-1} \times 2^{m-j+i-1},f_{i,j+1}+a_{j+1} \times 2^{m-j+i-1}\right\}$$

要用高精度。比较恶心。

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
// #define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(85)
const int B=1e4;
int n,m,a[N];
struct bg
{
    int num[505],len;
    bg()
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
        len=0;
    }
    void print()
    {
        cout << num[len];
        for(int i=len-1; i>0; i--)
        {
            if(!num[i])cout << "0000";
            else
            {
                for(int k=10; k*num[i]<B; k*=10)
                    cout << "0";
                cout << num[i];
            }
        }
    }
}f[N][N],base[N],ans;

bg operator+(bg a,bg b)
{
    bg c;c.len=max(a.len,b.len);
    int jw=0;
    for(int i=1; i<=c.len; i++)
    {
        c.num[i]=a.num[i]+b.num[i]+jw;
        jw=c.num[i]/B;
        c.num[i]%=B;
    }
    if(jw>0)
        c.num[++c.len]=jw;
    return c;
}
bg operator*(bg a,int b)
{
    bg c; c.len=a.len;
    int jw=0;
    for(int i=1; i<=c.len; i++)
    {
        c.num[i]=a.num[i]*b+jw;
        jw=c.num[i]/B;
        c.num[i]%=B;
    }
    while(jw>0)
        c.num[++c.len]=jw%B,jw/=B;
    return c;
}
bg max(bg a,bg b)
{
    if(a.len!=b.len)return a.len<b.len?b:a;
    for(int i=a.len; i>0; i--)
        if(a.num[i]!=b.num[i])
            return a.num[i]>b.num[i]?a:b;
    return a;
}
void init()
{
    base[0].num[1]=1;
    base[0].len=1;
    for(int i=1; i<=m+2; i++)
        base[i]=base[i-1]*2;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n >> m;
    init();
    bg res;
    while(n--)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        for(int i=1; i<=m; i++)
            cin >> a[i];
        for(int i=1; i<=m; i++)
            for(int j=m; j>=i; j--)
            {
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j]+base[m-j+i-1]*a[i-1]);
                f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j+1]+base[m-j+i-1]*a[j+1]);
            }
        bg mx;
        for(int i=1; i<=m; i++)
            mx=max(mx,f[i][i]+base[m]*a[i]);
        res=res+mx;
    }
    res.print();
    return 0;
}