洛谷P4047 [JSOI2010]部落划分题解

题目链接：P4047 [JSOI2010]部落划分

题意：

聪聪研究发现，荒岛野人总是过着群居的生活，但是，并不是整个荒岛上的所有野人都属于同一个部落，野人们总是拉帮结派形成属于自己的部落，不同的部落之间则经常发生争斗。只是，这一切都成为谜团了——聪聪根本就不知道部落究竟是如何分布的。

不过好消息是，聪聪得到了一份荒岛的地图。地图上标注了 $n$ 个野人居住的地点（可以看作是平面上的坐标）。我们知道，同一个部落的野人总是生活在附近。我们把两个部落的距离，定义为部落中距离最近的那两个居住点的距离。聪聪还获得了一个有意义的信息——这些野人总共被分为了 $k$ 个部落！这真是个好消息。聪聪希望从这些信息里挖掘出所有部落的详细信息。他正在尝试这样一种算法：

对于任意一种部落划分的方法，都能够求出两个部落之间的距离，聪聪希望求出一种部落划分的方法，使靠得最近的两个部落尽可能远离。

例如，下面的左图表示了一个好的划分，而右图则不是。请你编程帮助聪聪解决这个难题。

对于 $100\%$ 的数据，保证 $2 \leq k \leq n \leq 10^3$，$0 \leq x, y \leq 10^4$。

最小距离最大，一眼二分

但是这里给出一个kruskal的解法

我们先把 $O(n^2)$ 条边建出来

然后找到最小生成树

贪心地把最小生成树划分为 $k$ 个连通块

具体的，我们只要依次合并树上最小边

最后一共合并掉 $(n-1)-(k-1) = n-k$ 条边

所以答案就是第 $n-k+1$ 条边的边权

口糊一个正确性证明（可能不是很严谨）

考虑反证法

设最小生成树上的一条边 $w_1(u,v)$ ，将其替换为 $w_2(u,v^{\prime})$ （$w_2>w_1$）

如果 $w_1$ 会被合并而我们合并了 $w_2$ ，好像看不出什么变化
如果 $w_1$ 会被合并而我们没有合并 $w_2$ ，

那么我们一定合并了一条比 $w_1$ 大的边，而且是最小生成树上的边

因此答案会偏大
如果 $w_1$ 不会被合并而我们合并了 $w_2$ ，没有这种情况。
如果 $w_1$ 不会被合并而我们没有合并 $w_2$ ，没影响。

时间复杂度 $O(n^2 \log n)$

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(1e3+15)
#define M (int)(1e6+15)
#define pf(x) ((x)*(x))
struct Edge{int u,v,w;}e[M];
int n,k,f[N],x[N],y[N],c[N],pos;
int find(int x){return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);}
void merge(int u,int v){f[find(u)]=find(v);}
void addEdge(int u,int v,int w){e[++pos]={u,v,w};}
int dis(int i,int j){return pf(x[i]-x[j])+pf(y[i]-y[j]);}
void kruskal()
{
    sort(e+1,e+1+pos,[](Edge a,Edge b)
    {
        return a.w<b.w;
    });
    int cnt=0;
    for(int i=1; i<=pos&&cnt<n; i++)
    {
        int u=e[i].u,v=e[i].v;
        if(find(u)!=find(v))
        {
            merge(u,v);
            c[++cnt]=e[i].w;
        }
    }
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n >> k;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        f[i]=i,cin >> x[i] >> y[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)
        for(int j=1; j<i; j++)
            addEdge(i,j,dis(i,j));
    kruskal();
    cout << fixed << setprecision(2);
    cout << sqrt((double)c[n-k+1]) << '\n';
    return 0;
}