洛谷P1314 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员 题解

题目链接：P1314 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题意：

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 \(n\) 个矿石，从 \(1\) 到 \(n\) 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 \(w_i\) 以及价值 \(v_i\) 。检验矿产的流程是：

1 、给定 \(m\) 个区间 \([l_i,r_i]\)；

2 、选出一个参数 \(W\)；

3 、对于一个区间 \([l_i,r_i]\)，计算矿石在这个区间上的检验值 \(y_i\)： \[ y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j \] 其中 \(j\) 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 \(y\) 为各个区间的检验值之和。即：\(\sum\limits_{i=1}^m y_i\)

若这批矿产的检验结果与所给标准值 \(s\) 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 \(W\) 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 \(s\)，即使得 \(|s-y|\) 最小。请你帮忙求出这个最小值。

对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1 ≤n ,m≤200,000\)，\(0 < w_i,v_i≤10^6\)，\(0 < s≤10^{12}\)，\(1 ≤l_i ≤r_i ≤n\) 。

注意到其实我们就是要算这个式子 \[ \left|s-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j\right|_{\min} \] \(\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]\) 是可以前缀和优化的

但是显然我们要知道 \(W\) 才能计算这个柿子

考虑二分一个 \(W \in [0,w_{\max}]\)

对于绝对值的二分，我们直接拆掉绝对值

• 当 \(s-y<0\) 时， \(y\) 减小， \(W\) 增大。

• 当 \(s-y>0\) 时， \(y\) 增大， \(W\) 减小。

• 当 \(s-y=0\) 时 ，直接退出即可。

答案只要在二分的过程中卑微的记录一下就好了

时间复杂度 \(O(n \log W)\)

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(2e5+15)

int n,m,s,l,r,mid;
int w[N],v[N],le[N],ri[N],res=INF,p[N],q[N];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
        r=max(r,w[i]);
    }
    for(int i=1; i<=m; i++)
        cin >> le[i] >> ri[i];
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1)>>1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(w[i]>mid)
                q[i]=q[i-1]+1,p[i]=p[i-1]+v[i];
            else 
                q[i]=q[i-1],p[i]=p[i-1];
        }
        int x=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
            x+=(q[ri[i]]-q[le[i]-1])*(p[ri[i]]-p[le[i]-1]);
        int t=s-x;
        if(t<0)l=mid;
        else if(!t)return cout << 0,0;
        else r=mid-1;
        res=min(res,abs(t));
    }
    cout << res << '\n';
    return 0;
}