洛谷P1314 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员 题解

题目链接：P1314 [NOIP2011 提高组] 聪明的质监员

题意：

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

1 、给定 $m$ 个区间 $[l_i,r_i]$；

2 、选出一个参数 $W$；

3 、对于一个区间 $[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$：

$$y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$$

其中 $j$ 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即：$\sum\limits_{i=1}^m y_i$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

对于 $100\%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤200,000$，$0 < w_i,v_i≤10^6$，$0 < s≤10^{12}$，$1 ≤l_i ≤r_i ≤n$ 。

注意到其实我们就是要算这个式子

$$\left|s-\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j\right|_{\min}$$

$\sum_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]$ 是可以前缀和优化的

但是显然我们要知道 $W$ 才能计算这个柿子

考虑二分一个 $W \in [0,w_{\max}]$

对于绝对值的二分，我们直接拆掉绝对值

• 当 $s-y<0$ 时， $y$ 减小， $W$ 增大。

• 当 $s-y>0$ 时， $y$ 增大， $W$ 减小。

• 当 $s-y=0$ 时 ，直接退出即可。

答案只要在二分的过程中卑微的记录一下就好了

时间复杂度 $O(n \log W)$

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <iomanip>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(2e5+15)

int n,m,s,l,r,mid;
int w[N],v[N],le[N],ri[N],res=INF,p[N],q[N];
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n >> m >> s;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        cin >> w[i] >> v[i];
        r=max(r,w[i]);
    }
    for(int i=1; i<=m; i++)
        cin >> le[i] >> ri[i];
    while(l<r)
    {
        int mid=(l+r+1)>>1;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            if(w[i]>mid)
                q[i]=q[i-1]+1,p[i]=p[i-1]+v[i];
            else 
                q[i]=q[i-1],p[i]=p[i-1];
        }
        int x=0;
        for(int i=1; i<=m; i++)
            x+=(q[ri[i]]-q[le[i]-1])*(p[ri[i]]-p[le[i]-1]);
        int t=s-x;
        if(t<0)l=mid;
        else if(!t)return cout << 0,0;
        else r=mid-1;
        res=min(res,abs(t));
    }
    cout << res << '\n';
    return 0;
}