洛谷P3621 [APIO2007] 风铃题解

题目链接：P3621 [APIO2007] 风铃

题意：

你准备给弟弟 Ike 买一件礼物，但是，Ike 挑选礼物的方式很特别：他只喜欢那些能被他排成有序形状的东西。

你准备给 Ike 买一个风铃。风铃是一种多层的装饰品，一般挂在天花板上。

每个风铃都包含一些由竖直线连起来的水平杆。每根杆的两头都有线连接，下面或者挂着另一根水平杆，或者挂着一个玩具。下面是一个风铃的例子：

为了满足弟弟，你需要选一个满足下面两个条件的风铃：

所有的玩具都在同一层(也就是说，每个玩具到天花板之间的杆的个数是一样的)或至多相差一层。

对于两个相差一层的玩具，左边的玩具比右边的玩具要更靠下一点。

风铃可以按照下面的规则重新排列：任选一根杆，将杆两头的线“交换”。也就是解开一根杆左右两头的线，然后将它们绑到杆的另一头。这个操作不会改变更下面的杆上线的排列顺序。

正在训练信息学奥林匹克的你，决定设计一个算法，判断能否通过重新排列，将一个给定的风铃变为 Ike 喜欢的样子。

考虑上面的例子，上图中的风铃满足条件 $1$，却不满足条件 $2$ ——最左边的那个玩具比它右边的要高。

但是，我们可以通过下面的步骤把这个风铃变成一个 Ike 喜欢的：

第一步，将杆 $1$ 的左右两边交换，这使得杆 $2$ 和杆 $3$ 的位置互换，交换的结果如下图所示：

第二步，也是最后一步，将杆 $2$ 的左右两边交换，这使得杆 $4$ 到了左边，原来在左边的玩具到了右边，交换的结果发下图所示：

现在的这个风铃就满足 Ike 的条件了。

你的任务是：给定一个风铃的描述，求出最少需要多少次交换才能使这风铃满足 Ike 的条件(如果可能)。

感觉不算正经树形dp，但是包含树形dp的思想

题目其实就是在问通过最少次交换某些结点的左右子树使原树变成完全二叉树

分类讨论

如果最深的深度和最浅的深度相差超过 $1$ ，无解。
如果是满二叉树，答案为 $0$ 。

上面这两种用一遍dfs就可以搞定

对于一个结点，其左子树只有浅，右子树存在深，则需要交换一次。
对于一个结点，其左子树存在深浅，右子树只有深，则需要交换一次。
对于一个结点，其左右子树均存在深浅，无解。

上面这3种用第二遍dfs搞定

可以用 $0/1/2$ 分别表示：全浅、全深、均有

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
#define int long long
const int INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=1e5+15;

int n,son[N][2],mn=INF,mx,ans;
void dfs1(int u,int d)
{
    if(u==-1)
    {
        mn=min(d,mn);
        mx=max(d,mx);
        return ;
    }
    dfs1(son[u][0],d+1);
    dfs1(son[u][1],d+1);
}
int dfs2(int u,int d)
{
    if(u==-1)return (d!=mn);
    int x=dfs2(son[u][0],d+1);
    int y=dfs2(son[u][1],d+1);
    ans+=((!x&&y)||(x==2&&y==1));
    if(x==2&&y==2)cout << "-1",exit(0);
    if(x==2||y==2||x+y==1)return 2;
    if(!(x+y))return 0;
    return 1;
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> son[i][0] >> son[i][1];
    dfs1(1,0);
    if(mx-mn>1)cout << "-1";
    else
        if(mx==mn)cout << "0";
    else
    {
        dfs2(1,0);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}