洛谷P1122 最大子树和 题解

题目链接：P1122 最大子树和

题意：

小明对数学饱有兴趣，并且是个勤奋好学的学生，总是在课后留在教室向老师请教一些问题。一天他早晨骑车去上课，路上见到一个老伯正在修剪花花草草，顿时想到了一个有关修剪花卉的问题。于是当日课后，小明就向老师提出了这个问题：

一株奇怪的花卉，上面共连有 $N$ 朵花，共有 $N-1$ 条枝干将花儿连在一起，并且未修剪时每朵花都不是孤立的。每朵花都有一个“美丽指数”，该数越大说明这朵花越漂亮，也有“美丽指数”为负数的，说明这朵花看着都让人恶心。所谓“修剪”，意为：去掉其中的一条枝条，这样一株花就成了两株，扔掉其中一株。经过一系列“修剪“之后，还剩下最后一株花（也可能是一朵）。老师的任务就是：通过一系列“修剪”（也可以什么“修剪”都不进行），使剩下的那株（那朵）花卉上所有花朵的“美丽指数”之和最大。

老师想了一会儿，给出了正解。小明见问题被轻易攻破，相当不爽，于是又拿来问你。

一眼树形dp

这道题就是要在树上找一个极大权值连通块

显然我们不知道连通块是什么样的，但是不急

树形dp的核心是从子树转移状态

$$dp[u] \leftarrow f(dp[v])$$

设 $dp[u]$ 表示 $u$ 所在子树中包含 $u$ 的极大连通块大小

在本题中，如果 $u$ 的子结点 $v$ 有 $dp[v] > 0$ ，那么可以把 $v$ 给拼接到 $u$ 上

于是有

$$dp[u]=\sum_{dp[v]>0} dp[v] + \text{val}[u]$$

最后答案就是 $\max(dp[u])$

时间复杂度 $O(n^2)$

代码：

#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define N (int)(1.6e4+15)

int n,val[N],dp[N];
vector<int> vec[N];
void dfs(int u,int f)
{
    for(int v:vec[u])
        if(v!=f)
        {
            dfs(v,u);
            if(dp[v]>0)dp[u]+=dp[v];
        }
    dp[u]+=val[u];
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);cout.tie(0);
    // freopen("check.in","r",stdin);
    // freopen("check.out","w",stdout);
    cin >> n;
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin >> val[i];
    for(int i=1,u,v; i<n; i++)
    {
        cin >> u >> v;
        vec[u].push_back(v);
        vec[v].push_back(u);
    }
    dfs(1,1);
    cout << *max_element(dp+1,dp+1+n) << endl;
    return 0;
}