洛谷P6216 回文匹配 题解
题目链接:P6216 回文匹配
题意:对于一对字符串 $(s_1,s_2)$,若 $s_1$ 的长度为奇数的子串 $(l,r)$ 满足 $(l,r)$ 是回文的,那么 $s_1$ 的“分数”会增加 $s_2$ 在 $(l,r)$ 中出现的次数。
现在给出一对 $(s_1,s_2)$,请计算出 $s_1$ 的“分数”。
答案对 $2 ^ {32}$ 取模。
容易发现这就是个Manacher+KMP
Manacher用于找出奇回文串,KMP用于找出 $s_2$ 在 $(l,r)$ 中的出现位置
难点在于如何计算这个次数
对于每个极大回文串(长度小于 $|s_2|$ 的不考虑)
它一定包含了在同一回文中心的更小的回文串
如abbba
还包含了bbb
,b
如果暴力去求解,时间复杂度为 $O(n^2)$
于是想到前缀和来加快运算
我们可以在匹配成功时将 $s_2$ 左端点位置标记为 $1$
考虑一个回文串,x
为任意字符
str:xxxxxxx
pos:1234567
它对答案的贡献为sum_6-sum_0+sum_5-sum_1+sum_4-sum_2+sum_3-sum_3
即,sum_6+sum_5+sum4+sum_3-(sum3+sum_2+sum_1+sum_0)
注:要从r-m+1
开始,否则会出现右边界超出范围的情况
还是个前缀和!
于是我们可以再做一次前缀和(即二次前缀和)
这样时间复杂度就压到 $O(n)$ 了
代码如下
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define MAXN (int)(3e6+25)
int n,m,r,mid;
int fail[MAXN],sum[MAXN],len,p[MAXN];
char a[MAXN],b[MAXN];
unsigned ans;
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
scanf("%s %s",a+1,b+1);
a[n+1]=b[m+1]='~'; // 本题的数据有问题所以要手动加个分隔符 QAQ
for(int i=2,j=0; i<=m; i++)
{
while(j&&b[i]!=b[j+1])j=fail[j];
if(b[i]==b[j+1])++j;
fail[i]=j;
}
for(int i=1,j=0; i<=n; i++)
{
while(j&&a[i]!=b[j+1])j=fail[j];
if(a[i]==b[j+1])++j;
if(j==m)++sum[i-m+1];
}
for(int i=1; i<=n; i++)
sum[i]+=sum[i-1];
for(int i=1; i<=n; i++)
sum[i]+=sum[i-1];
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(i<=r)p[i]=min(p[(mid<<1)-i],r-i+1);
while(a[i-p[i]]==a[i+p[i]])++p[i];
if(i+p[i]-1>=r)r=i+p[i]-1,mid=i;
}
// ------------------------------------
for(int i=1; i<=n; i++)
{
if(2*p[i]-1<m)continue;
int r=i+p[i]-1,l=i-p[i]+1;
l--;r=r-m+1;
int mid=(l+r)>>1;
ans+=sum[r]-sum[mid]-sum[((l+r)&1)?mid:mid-1]+sum[l-1];
}
printf("%u\n",ans);
return 0;
}
参考文献