洛谷P5020 [NOIP2018 提高组] 货币系统题解

题目链接：P5020 [NOIP2018 提高组] 货币系统

题意：在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$ 、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$ 。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$ ，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i] \times t[i]$ 的和为 $x$ 。然而，在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3 ,a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$ ，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$ ，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$ 。

输入输出样例

输入 #1
2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17 
输出 #1
2   
5  

观察第一组数据，可以发现其等价于 3 10

因为 $19$ 和 $6$ 均可以用 $3$ 和 $10$ 替代

而第二组，每一种都是有价值的，不可替代

考虑 $dp$ ，

设 $dp[i]$ 表示凑出 $i$ 最多需要花费的金额种类

显然这个是个完全背包。

$dp[a[i]]=1$ 则说明 $a[i]$ 是有价值的面额

然后就没了，代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
namespace FastIO
{
    #define gc() readchar()
    #define pc(a) putchar(a)
    #define SIZ (int)(1e6+15)
    char buf1[SIZ],*p1,*p2;
    char readchar()
    {
        if(p1==p2)p1=buf1,p2=buf1+fread(buf1,1,SIZ,stdin);
        return p1==p2?EOF:*p1++;
    }
    template<typename T>void read(T &k)
    {
        char ch=gc();T x=0,f=1;
        while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
        while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
        k=x*f;
    }
    template<typename T>void write(T k)
    {
        if(k<0){k=-k;pc('-');}
        static T stk[66];T top=0;
        do{stk[top++]=k%10,k/=10;}while(k);
        while(top){pc(stk[--top]+'0');}
    }
}using namespace FastIO;
#define N (int)(3e4+15)
int Q,n,mx;
int a[115],dp[N];
signed main()
{
    read(Q);
    while(Q--)
    {
        memset(dp,0xc0,sizeof(dp));
        read(n);dp[0]=0;mx=-INF;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            read(a[i]);
            mx=max(mx,a[i]);
        }
        for(int i=1; i<=n; i++)
            for(int j=a[i]; j<=mx; j++)
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+1);
        int res=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            if(dp[a[i]]==1)++res;
        write(res);pc('\n');
    }
    return 0;
}