洛谷P2387 [NOI2014] 魔法森林 题解

题目链接：P2387 [NOI2014] 魔法森林

题意：每条边有边权 \(a,b\) 两个，求 \(1\) 到 \(n\) 的路径使得所经过的边中 \(\max\{a\}+\max\{b\}\) 尽可能小

由于下面写了很多解题思路上的东西，导致有些冗长，因此这里先放简化版题解

如果不理解可以跳过这一段简化版，直接看下面的完整版

简化版

因为不方便同时处理 \(a,b\) 两维，我们可以枚举 \(a\) 然后尽可能的选择较小的 \(b\)

这个 \(b\) 的一定在连接 \(1\) 和 \(n\) 的最小生成树上

因此这道题就是个动态加边的 LCT 裸题了

代码在后面，时间复杂度 \(O(m\log m)\)

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完整版

这种“二维”的问题常见的解法就是枚举第一维，然后优化第二维

不知道这个套路也没关系

首先看到这个题意，最大值的和最小，显然我们无法确定这是个多大的值

似乎可以二分？但是再一想，二分 \(a+b\) 肯定是不对的

那先二分 \(a\) 再二分 \(b\) （二分套二分）呢？

看上去似乎也不行，这个 \(b\) 不是很好二分，而且复杂度似乎是 \(O(n\log^3n)\) 的

那二分 \(a\) 呢？好像要对 \(a\) 这一维从小到大排个序，然后在 \(a\) 相等时，第二维也从小到大排序

而每次我们检验 \(a\) 时，都要把在 \(a\) 所在位置（数组中）左边的边都去连连看有没有用什么的

那还不如直接从小到大枚举 \(a\) 呢！

于是我们可以枚举 \(a\) ，然后发现如果要保证 \(b\) 尽可能的小

我们需要在所有 \(a’<a\) 的边中找出一棵生成树

也就是在用 \(a\) 所在位置（数组中）左边的边建出的图中建最小生成森林（因为这个子图不一定连通）

其实我们并不是在为了维护最小生成森林而维护它的

而是在维护包括结点 \(1\) 和 \(n\) 最小生成树的过程中所必需的 qwq

当这个包括结点 \(1\) 和 \(n\) 的最小生成树建出来的时候，我们就可以更新答案了

注意这里是更新答案，不是最终结果，因为最终结果它和 \(a\) 的大小没有直接的关系

举个例子就知道了，a=1,b=998244353和 a=2,b=1，显然是后者更小

那么怎么动态的维护一棵最小生成树呢？我们可以使用LCT

如果不会LCT动态维护最小生成树，可以看看这篇

那么，其实这道题就解决了

也就是枚举 \(a\) ，动态维护最小生成树

时间复杂度 \(O(m\log m)\)

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define gc() getchar()
#define pc(a) putchar(a)
#define N (int)(3e5+5)
template<typename T>void read(T &k)
{
    char ch=gc();T x=0,f=1;
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=gc();}
    while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=gc();}
    k=x*f;
}
template<typename T>void write(T k)
{
    if(k<0){k=-k;pc('-');}
    if(k>9)write(k/10);
    pc(k%10+'0');
}
int n,m,ans=INF;
namespace LCT
{
    struct Edge{int u,v,a,b;}e[N];
    int cmp(Edge a,Edge b){return a.a==b.a?a.b<b.b:a.a<b.a;}
    struct node
    {
        int ch[2],id,mx,w,fa,tag;
    }t[N];
    #define isroot(x) ((t[t[x].fa].ch[0]!=x)&&(t[t[x].fa].ch[1]!=x))
    void pushr(int x)
    {
        swap(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);
        t[x].tag^=1;
    }
    void push_up(int x)
    {
        t[x].id=x;t[x].mx=t[x].w;
        if(t[x].ch[0]&&t[t[x].ch[0]].mx>t[x].mx)
            t[x].mx=t[t[x].ch[0]].mx,t[x].id=t[t[x].ch[0]].id;
        if(t[x].ch[1]&&t[t[x].ch[1]].mx>t[x].mx)
            t[x].mx=t[t[x].ch[1]].mx,t[x].id=t[t[x].ch[1]].id;
    }
    void push_down(int x)
    {
        if(t[x].tag)
        {
            if(t[x].ch[0])pushr(t[x].ch[0]);
            if(t[x].ch[1])pushr(t[x].ch[1]);
            t[x].tag^=1;
        }
    }
    void push_all(int x)
    {
        if(!isroot(x))push_all(t[x].fa);
        push_down(x);
    }
    void rotate(int x)
    {
        int y=t[x].fa;
        int z=t[y].fa;
        int k=t[y].ch[1]==x;
        if(!isroot(y))t[z].ch[t[z].ch[1]==y]=x;
        t[x].fa=z;
        t[y].ch[k]=t[x].ch[k^1];
        t[t[x].ch[k^1]].fa=y;
        t[x].ch[k^1]=y;
        t[y].fa=x;
        push_up(y);
        push_up(x);
    }
    void splay(int x)
    {
        push_all(x);
        while(!isroot(x))
        {
            int y=t[x].fa;
            int z=t[y].fa;
            if(!isroot(y))
            (t[z].ch[1]==y)^(t[y].ch[1]==x)?rotate(x):rotate(y);
            rotate(x);
        }
    }
    void access(int x)
    {
        for(int y=0;x;y=x,x=t[x].fa)
            splay(x),t[x].ch[1]=y,push_up(x);
    }
    void make_root(int x)
    {
        access(x);splay(x);
        pushr(x);
    }
    int find_root(int x)
    {
        access(x);splay(x);
        while(t[x].ch[0])push_down(x),x=t[x].ch[0];
        splay(x);
        return x;
    }
    void split(int x,int y)
    {
        make_root(x);
        access(y);splay(y);
    }
    void link(int x,int y)
    {
        make_root(x);
        if(find_root(y)!=x)t[x].fa=y;
    }
    void cut(int x,int y)
    {
        make_root(x);
        if(find_root(y)==x&&t[y].fa==x&&!t[y].ch[0])
        {
            t[x].ch[1]=t[y].fa=0;
            push_up(x);
        }
    }
    int ck(int x,int y)
    {
        make_root(x);
        return find_root(y)!=x;
    }
}
signed main()
{
    using namespace LCT;
    read(n);read(m);
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        read(e[i].u);read(e[i].v);
        read(e[i].a);read(e[i].b);
    }
    sort(e+1,e+1+m,cmp);
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        int idx=n+i,x=e[i].u,y=e[i].v;
        t[idx].w=e[i].b;
        if(x==y)continue;
        if(ck(x,y))
            link(x,idx),link(idx,y);
        else
        {
            split(x,y);int now=t[y].id;
            if(t[now].mx<=e[i].b)continue;splay(now);
            t[t[now].ch[0]].fa=t[t[now].ch[1]].fa=0;
            link(x,idx);link(idx,y);
        }
        if(!ck(1,n))
        {
            split(1,n);
            ans=min(ans,t[n].mx+e[i].a);
        }
    }
    if(ans==INF)write(-1);
    else write(ans);pc('\n');
    return 0;
}