均值不等式及其证明

引理1

若 $a\ge 0,b\ge 0$ ，则

$$(a+b)^n\ge a^n+na^{n-1}b\qquad (n\in \mathbb{Z}^+)$$

证明直接二项式展开即可。

定理1

$$\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\ge \left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{\frac{1}{n}}$$

证明 考虑数学归纳法。

原命题等价于

$$\left(\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}\right)^n \ge \prod\limits_{i=1}^{n}a_i$$

设 $n=k$ 时原不等式成立，规定 $\forall i<j,a_i<a_j$ ，并记 $S_n = \sum_{i=1}^{n}a_i$ 。

当 $n=k+1$ 时，原不等式为

$$\begin{aligned} \left(\dfrac{S_k+a_{k+1}}{k+1}\right)^{k+1} &\ge \prod\limits_{i=1}^{k+1}a_i \\[6pt]\left(\dfrac{S_k}{k}+\dfrac{ka_{k+1}-S_k}{k(k+1)}\right)^{k+1}&\ge \prod\limits_{i=1}^{k+1}a_i \end{aligned}$$

由引理1可知

$$\text{LHS}\ge \left(\dfrac{S_k}{k}\right)^{k+1}+(k+1)\left(\dfrac{S_k}{k}\right)^k\dfrac{ka_{k+1}-S_k}{k(k+1)}$$

提示：这里 $\rm LHS$ 表示等式左侧，同理下文 $\rm RHS$ 表示等式右侧。

因为 $a_{k+1}=\max\left\{a_i\mid 1\le i \le k+1\right\}$ ，所以 $ka_{k+1}-S_k\ge 0$ ，那么

$$\text{LHS} \ge \left(\dfrac{S_k}{k}\right)^{k}\times a_{k+1} \ge \text{RHS}$$

故原命题得证。$\square$

定理2

$$\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}} \ge \dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n}$$

证明 令 $c = \frac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n},~x_i=a_i-c$ ，则

$$\sum_{i=1}^{n}a_i = \sum_{i=1}^{n}x_i+nc = \sum_{i=1}^{n}x_i+\sum_{i=1}^{n}a_i$$

故 $\sum_{i=1}^{n}x_i = 0$ 。那么

$$\begin{aligned} \text{LHS}&=\sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i+c\right)^2}{n}} \\[6pt] &= \sqrt{c^2+\dfrac{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}{n}} \ge \sqrt{c^2} = \text{RHS} \end{aligned}$$

故原命题得证。$\square$

定理3

$$\left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{\frac{1}{n}} \ge \frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}$$

证明 由定理1可知

$$\frac{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}{n} \ge \left(\prod_{i=1}^n\frac{1}{a_i}\right)^{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{\frac{1}{n}}}$$

那么

$$\left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{\frac{1}{n}} \ge\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}}$$

原命题得证。$\square$

定理4

综上可得结论（均值不等式）

$$\frac{n}{\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{a_i}} \le \left(\prod_{i=1}^na_i\right)^{\frac{1}{n}} \le \dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i}{n} \le \sqrt{\dfrac{\sum_{i=1}^{n}a_i^2}{n}}$$

当且仅当 $a_1=a_2=\cdots=a_n$ 时等号成立。

文字表述为：调和平均数 不超过 几何平均数 不超过 算术平均数 不超过 平方平均数。

更为常见的形式是 $n=2$ 的情况，即

$$\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \le \sqrt{ab} \le \frac{a + b}{2} \le \sqrt{\frac{a^2 + b^2}{2}}$$

为了方便记忆，这里顺便补充一下这些平均数适用于什么场合

• 调和平均数：例如计算平均速度。总路程除以总时间，$a,b$ 为每段的速度。
• 几何平均数：例如计算增长率。第一年多赚 $10\%$ ，第二年少赚 $10\%$ ，$\sqrt{1.1\times 0.9}\approx 0.9949$ ，亏了
• 算数平均数：最常见。两个人付 $200$ 元，平均一人付 $100$ 元，很合理。
• 平方平均数：例如测交流电电压。如 $+10\ \mathrm{V},-10\ \mathrm{V}$ 只是电流方向不同，该方式可排除方向的问题。