浅谈树状数组 区间修改&区间查询

一、区间修改，单点查询

首先我们可以先来想一下，树状数组的区间修改，单点查询怎么弄

我们可以维护一个关于原数组的差分数组

很容易知道 $a_i=\sum\limits_{j=1}^{i}b_j$，其中 $b$ 为差分数组

那么区间修改时和差分的差不多，就是add(l,x),add(r+1,-x)表示 $[l,r]$ 加上 $x$

单点查询根据上面的结论，就是sum(i)

区间修改，单点查询的代码如下（注：这个不是LOJ132的代码 qwq）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
#define MAXN (int)(5e5+5)
template<typename T>inline void read(R T &k)
{
	R char ch=getchar(); R T x=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	k=x*f;
}
int n,m;
int a[MAXN],ans[MAXN];
inline int lowbit(R int x){return x&(-x);}
void add(R int x,R int v)
{
	while(x<=n)
	{
		ans[x]+=v;
		x+=lowbit(x);
	}
}
int sum(R int x)
{
	R int res=0;
	while(x>0)
	{
		res+=ans[x];
		x-=lowbit(x);
	}
	return res;
}
signed main()
{
	read(n);read(m);
	read(a[1]);add(1,a[1]);
	for(R int i=2; i<=n; i++)
		read(a[i]),add(i,a[i]-a[i-1]);
	while(m--)
	{
		R int op,x,y,k;
		read(op);read(x);
		if(op==1)
		{
			read(y);read(k);
			add(x,k);add(y+1,-k);
		}
		else printf("%lld\n",sum(x));
	}
	return 0;
}

二、区间修改，区间查询

模板题：LOJ132

那么区间修改，区间查询怎么搞呢？

我们先假设查询的区间为 $[1,r]$ ，因为 $[l,r]$ 的区间和就是 $[1,r]$ 的和减去 $[1,l]$ 的和

那么

$$\begin{aligned} \text{ans} &= \sum\limits_{i=1}^{r}a_i \\&= \sum\limits_{i=1}^{r}\sum\limits_{j=1}^{i}b_j \\&=\sum\limits_{i=1}^{r}{b_i \times (r-i+1)} \\&=\sum\limits_{i=1}^{r}{b_i\times (r+1)} - \sum\limits_{i=1}^{r}{b_i\times i} \end{aligned}$$

那么我们只需要用两个树状数组分别维护左右两边的式子就行了

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
#define MAXN (int)(1e6+5)
template<typename T>inline void read(R T &k)
{
	R char ch=getchar();R T x=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	k=x*f;
}
template<typename T>inline void write(R T k)
{
	if(!k){putchar('0');return;}
	if(k<0)k=-k,putchar('-');
	if(k>9)write(k/10);
	putchar(k%10+'0');
}
int n,m;
int a[MAXN];
struct BIT
{
	int bit1[MAXN],bit2[MAXN];
	int lowbit(R int x){return x&(-x);}
	void add(R int x,R int v)
	{
		R int k=v*x;
		while(x<=n)
		{
			bit1[x]+=v,bit2[x]+=k; // 维护的重点部分
			x+=lowbit(x);
		}
	}
	int sum(R int *b,R int x)
	{
		R int res=0;
		while(x>=1)
		{
			res+=b[x];
			x-=lowbit(x);
		}
		return res;
	}
	int qry(R int l,R int r)
	{return sum(bit1,r)*(r+1)-sum(bit1,l-1)*(l)-(sum(bit2,r)-sum(bit2,l-1));}
}bt[1]; // 这个[1]没什么用 qwq
signed main()
{
	read(n);read(m);
	for(R int i=1; i<=n; i++)
		read(a[i]),bt[0].add(i,a[i]-a[i-1]);
	while(m--)
	{
		R int op,l,r,x;
		read(op);read(l);read(r);
		if(op==1){read(x);bt[0].add(l,x),bt[0].add(r+1,-x);}
		if(op==2){printf("%lld\n",bt[0].qry(l,r));}
	}
	return 0;
}