洛谷P2865 [USACO06NOV]Roadblocks G 题解

题目链接：P2865 [USACO06NOV]Roadblocks G

题意：求结点 \(1\) 到结点 \(n\) 的次短路，所有边有非负权重，边可以重复经过，无向图

如果是求最短路，那么一个dijkstra直接搞定

但是这题要求的是次短路，同样也可以dijkstra解决

我们观察 \(1\) 到 \(v\) 的一条次短路 \(p\)

要么存在 \(1\) 到 \(u\) 的一条最短路 \(k_1\) ，使得 \(k_1\) 加上 \((u,v)\) 等于 \(p\)

要么存在 \(1\) 到 \(u\) 的一条次短路 \(k_2\) ，使得 \(k_2\) 加上 \((u,v)\) 等于 \(p\)

因此我们只需要记录每个结点的最短距离和次短距离即可

（注：由于最短路径可能有多条，但是并不影响结果，因此我们假设只有一条路径）

由于每个结点都可以访问多次，那么怎么防止死循环呢？

显然对于一个结点，如果在我们的优先队列中将它取出时，我们只要判断它的距离是否大于它的结点的次短距离，如果大于，一定不是次短路

代码如下

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
#define MAXN (int)(5e3+5)
#define MAXM (int)(2e5+10)
#define INF (int)(0x3f3f3f3f3f3f3f3f)
template<typename T>inline void read(R T &k)
{
	R char ch=getchar();R T x=0,f=1;
	while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	k=x*f;
}
struct Edge
{
	int u,v,w,next;
}e[MAXM];
struct node
{
	int v,dis;
	bool operator<(const node &o)const
	{
		return dis>o.dis;
	}
};
int n,m;
int head[MAXN],pos=1;
int d1[MAXN],d2[MAXN];
void add(R int u,R int v,R int w)
{
	e[pos]={u,v,w,head[u]};
	head[u]=pos++;
}
void dijkstra()
{
	memset(d1,0x3f,sizeof(d1)); // 最短路
	memset(d2,0x3f,sizeof(d2)); // 次短路
	priority_queue<node> q;
	d1[1]=0;q.push({1,0}); // 次短路不用将结点1的距离设为0
	while(!q.empty())
	{
		R int u=q.top().v,tmp=q.top().dis;
		q.pop();if(tmp>d2[u])continue; // 防止死循环
		for(R int i=head[u]; i; i=e[i].next)
		{
			R int v=e[i].v,w=e[i].w;
			R int dis=tmp+w;
			if(dis<d1[v])
			{
				swap(d1[v],dis); // 这里要注意不是直接赋值，而是交换，这很显然吧..
				q.push({v,d1[v]});
			}
			if(dis<d2[v]&&d1[v]<dis)
			{
				d2[v]=dis; // 这里就是直接赋值了
				q.push({v,d2[v]});
			}
		}
	}
}
signed main()
{
	read(n);read(m);
	for(R int i=1,u,v,w; i<=m; i++)
	{
		read(u);read(v);read(w);
		add(u,v,w);add(v,u,w); // 无向边
	}
	dijkstra();
	printf("%lld\n",d2[n]);
	return 0;
}