裴蜀定理及其证明

一、裴蜀定理

对于 $x,y$ 的二元一次不定方程 $ax+by=c$ ，其有解的充要条件为 $\gcd(a,b)\mid c$ 。

1.充分性证明

充分性 若 $\gcd(a,b)\mid c$ ，则 $ax+by=c$ 有解。

证明 

设 $k$ 为 $a,b$ 线性组合的最小非负解。令 $q=\left\lfloor\dfrac{a}{k}\right\rfloor$ ，则有

$$\begin{aligned} r&= a-qk = a-q(ax+by) \\[6pt]&=a(1-qx)+b(-qy) \end{aligned}$$

显然 $r$ 也为 $a,b$ 线性组合的解，且 $0\le r \le k$ 。

由于 $k$ 为最小非负解，故 $r = 0$ ，那么 $k \mid a$ 。同理可得 $k\mid b$ 。

令 $d=\gcd(a,b)$ ，则 $k\mid d$ 且 $d \ge k$ 。

因为 $d\mid a,d\mid b$ 且 $s$ 为 $a,b$ 线性组合的解，所以 $d \mid k$ 。

因为 $s > 0$ ，所以 $d = k$ ，则 $ax+by=c$ 的最小非负解为 $\gcd(a,b)$ 。

显然 $\forall c=k\gcd(a,b),k\in \mathbb{Z}^+$ 是原方程的解。 $\square$

2.必要性证明

必要性 若 $ax+by=c$ 有解，则 $\gcd(a,b)\mid c$ 。

证明 令 $d=\gcd(a,b)$ ，则 $d\mid a,d\mid b$ 。

因为 $ax+by=c$ 有解，所以 $d\mid ax,d\mid by$ ，故 $d\mid ax+by=c$ 。 $\square$

3.推广

对于不定方程 $x_1y_1+x_2y_2+…+x_ny_n=k~(y_i \in \mathbb{Z})$ ，其有解的充要条件为 $\gcd\{x_i\}\mid k$ 。

---

二、裴蜀定理模板题

题目链接：P4549 【模板】裴蜀定理

要注意负数要转成正数再算 $\gcd$ 。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
int n,ans,a[25];
int gcd(R int a,R int b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(R int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[i]=a[i]>0?a[i]:-a[i];
		ans=gcd((i==1?a[1]:ans),a[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}