裴蜀定理及其证明

一、裴蜀定理

对于 \(x,y\) 的二元一次不定方程 \(ax+by=c\) ，其有解的充要条件为 \(\gcd(a,b)\mid c\) 。

1.充分性证明

充分性 若 \(\gcd(a,b)\mid c\) ，则 \(ax+by=c\) 有解。

证明 

设 \(k\) 为 \(a,b\) 线性组合的最小非负解。令 \(q=\left\lfloor\dfrac{a}{k}\right\rfloor\) ，则有 \[ \begin{aligned} r&= a-qk = a-q(ax+by) \\[6pt]&=a(1-qx)+b(-qy) \end{aligned} \] 显然 \(r\) 也为 \(a,b\) 线性组合的解，且 \(0\le r \le k\) 。

由于 \(k\) 为最小非负解，故 \(r = 0\) ，那么 \(k \mid a\) 。同理可得 \(k\mid b\) 。

令 \(d=\gcd(a,b)\) ，则 \(k\mid d\) 且 \(d \ge k\) 。

因为 \(d\mid a,d\mid b\) 且 \(s\) 为 \(a,b\) 线性组合的解，所以 \(d \mid k\) 。

因为 \(s > 0\) ，所以 \(d = k\) ，则 \(ax+by=c\) 的最小非负解为 \(\gcd(a,b)\) 。

显然 \(\forall c=k\gcd(a,b),k\in \mathbb{Z}^+\) 是原方程的解。 \(\square\)

2.必要性证明

必要性 若 \(ax+by=c\) 有解，则 \(\gcd(a,b)\mid c\) 。

证明 令 \(d=\gcd(a,b)\) ，则 \(d\mid a,d\mid b\) 。

因为 \(ax+by=c\) 有解，所以 \(d\mid ax,d\mid by\) ，故 \(d\mid ax+by=c\) 。 \(\square\)

3.推广

对于不定方程 \(x_1y_1+x_2y_2+...+x_ny_n=k~(y_i \in \mathbb{Z})\) ，其有解的充要条件为 \(\gcd\{x_i\}\mid k\) 。

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二、裴蜀定理模板题

题目链接：P4549 【模板】裴蜀定理

要注意负数要转成正数再算 \(\gcd\) 。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define R register
int n,ans,a[25];
int gcd(R int a,R int b) {return b==0?a:gcd(b,a%b);}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(R int i=1; i<=n; i++)
	{
		scanf("%lld",&a[i]);
		a[i]=a[i]>0?a[i]:-a[i];
		ans=gcd((i==1?a[1]:ans),a[i]);
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}