蒙提霍尔问题及其推广

前言

蒙提霍尔问题在《人教版A版数学选择性必修三》上作为阅读与思考的材料出现

本文会提供一种简单的解法并推广这个著名的问题

蒙提霍尔问题

一、背景

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let’s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）

二、简介

参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的几率

（注：以上摘自百度)

三、分析

~~题面没什么好说的~~，我们直接来讨论概率问题

根据直觉，我们可能会有以下两种判断

三扇门中有车的概率都是 $\dfrac{1}{3}$ ，因此不必换门
既然打开了一扇山羊门，那车在剩下两扇门中的概率都为 $\dfrac{1}{2}$ ，因此不必换门

那么到底哪个是对的呢？（其实都不对）

首先我们先来明确概率是什么

我们称第一次选择后并在剩余的门中开启了一扇有山羊的门后可以选择的门的数量为可选门

（注：说的有一些绕，但是这样的思路对于该问题的推广很有帮助）

在可选门中换到车门的概率就是 可选门中车门的数量除以可选门的数量

接下来我们来分类讨论选择换门后得到车的概率（注：车门指门后是汽车，山羊门指门后是山羊）

第一次选择的是车门（概率为 $\dfrac{1}{3}$ ），可选门有 $1$ 扇，其中还有 $0$ 扇车门，因此 $P_1=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{0}{1} = 0$
第一次选择的是山羊门（概率为 $\dfrac{2}{3}$ ），可选门有 $1$ 扇，其中还有 $1$ 扇车门，因此 $P_2=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{1} = \dfrac{2}{3}$

加起来就是选择换门后得到车的概率 $\dfrac{2}{3}$

而不换门得到车的概率为 $\dfrac{1}{3}$

是不是很反直觉？

四、推广

现在我们来讨论蒙提霍尔问题的推广（uva10491）

设有 $a$ 扇山羊门， $b$ 扇车门，主持人打开 $c$ 扇山羊门（ $a,b,c\in \mathbb{Z},1\le a,b \le 10000 , 0\le c < a$ ）

显然不换门得到车的概率为 $\dfrac{b}{a+b}$

那么选择换门后得到车的概率是多少呢？

第一次选择后剩余的门为 $(a+b-1)$ 扇，可选门的数量为 $(a+b-c-1)$

继续来分类讨论

第一次选择的是车门（概率为 $\dfrac{b}{a+b}$），可选门中车门的数量为 $(b-1)$ 扇，因此 $P_1 = \dfrac{b}{a+b}\times\dfrac{b-1}{a+b-c-1}$
第一次选择的是山羊门（概率为 $\dfrac{a}{a+b}$ ），可选门中车门的数量为 $b$ 扇，因此 $P_2 = \dfrac{a}{a+b}\times\dfrac{b}{a+b-c-1}$

加起来就是选择换门后得到车的概率为 $\dfrac{ab+b(b-1)}{(a+b)(a+b-c-1)}$

很容易证明换门后得到车的概率一定更大（除了c=0时概率相等）